應用題的題型總結和解題方法
應用題的題型總結和解題方法
小學數學中把含有數量關系的實際問題用語言或文字敘述出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部分構成。第一部分是已知條件(簡稱條件)，第二部分是所求問題(簡稱問題)。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。
11 行船問題
【含義】 行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差。
【數量關系】
(順水速度+逆水速度)÷2=船速
(順水速度-逆水速度)÷2=水速
順水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-順水速=順水速-水速×2
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關系的公式。
例1 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時?
解 由條件知，順水速=船速+水速=320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時 320÷8-15=25(千米)
船的逆水速為 25-15=10(千米)
船逆水行這段路程的時間為 320÷10=32(小時)
答：這只船逆水行這段路程需用32小時。
例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時;乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間?
解由題意得 甲船速+水速=360÷10=36
甲船速-水速=360÷18=20
可見 (36-20)相當于水速的2倍，
所以， 水速為每小時 (36-20)÷2=8(千米)
又因為， 乙船速-水速=360÷15，
所以， 乙船速為 360÷15+8=32(千米)
乙船順水速為 32+8=40(千米)
所以， 乙船順水航行360千米需要
360÷40=9(小時)
答：乙船返回原地需要9小時。
例3 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時?
解 這道題可以按照流水問題來解答。
(1)兩城相距多少千米?
(576-24)×3=1656(千米)
(2)順風飛回需要多少小時?
1656÷(576+24)=2.76(小時)
列成綜合算式
[(576-24)×3]÷(576+24)
=2.76(小時)
答：飛機順風飛回需要2.76小時。
12 列車問題
【含義】 這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。
【數量關系】
火車過橋：過橋時間=(車長+橋長)÷車速
火車追及： 追及時間=(甲車長+乙車長+距離)÷(甲車速-乙車速)
火車相遇： 相遇時間=(甲車長+乙車長+距離)÷(甲車速+乙車速)
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關系的公式。
例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米?
解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。
(1)火車3分鐘行多少米? 900×3=2700(米)
(2)這列火車長多少米? 2700-2400=300(米)
列成綜合算式 900×3-2400=300(米)
答：這列火車長300米。
例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米?
解 火車過橋所用的時間是2分5秒=125秒，所走的路程是(8×125)米，這段路程就是(200米+橋長)，所以，橋長為
8×125-200=800(米)
答：大橋的長度是800米。
例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間?
解 從追上到追過，快車比慢車要多行(225+140)米，而快車比慢車每秒多行(22-17)米，因此，所求的時間為
(225+140)÷(22-17)=73(秒)
答：需要73秒。
例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間?
解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。
150÷(22+3)=6(秒)
答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。
例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少?
解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長。可知火車在(88-58)秒的時間內行駛了(2000-1250)米的路程，因此，火車的車速為每秒
(2000-1250)÷(88-58)=25(米)
進而可知，車長和橋長的和為(25×58)米，
因此，車長為 25×58-1250=200(米)
答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。
13 時鐘問題
【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。
【數量關系】
分針的速度是時針的12倍，
二者的速度差為11/12。
通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。
【解題思路和方法】
變通為“追及問題”后可以直接利用公式。
例1 從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合?
解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格;時針每小時走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時針多走(1-1/12)=11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以
分針追上時針的時間為 20÷(1-1/12)≈ 22(分)
答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。
例2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角?
解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格(包括分針在時針的前或后15格兩種情況)。四點整的時候，分針在時針后(5×4) 格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 (5×4-15)格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走(5×4+15)格。再根據1分鐘分針比時針多走(1-1/12)格就可以求出 二針成直角的時間。
(5×4-15)÷(1-1/12)≈ 6(分)
(5×4+15)÷(1-1/12)≈ 38(分)
答：4點06分及4點38分時兩針成直角。
例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合?
解 六點整的時候，分針在時針后(5×6)格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。
(5×6)÷(1-1/12)≈ 33(分)
答：6點33分的時候分針與時針重合。
14 盈虧問題
【含義】 根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余(盈)，一次不足(虧)，或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。
【數量關系】
一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：
參加分配總人數=(盈+虧)÷分配差
如果兩次都盈或都虧，則有：
參加分配總人數=(大盈-小盈)÷分配差
參加分配總人數=(大虧-小虧)÷分配差
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關系的公式。
例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個;若每人分4個就少1個。問有多少小朋友?有多少個蘋果?
解 按照“參加分配的總人數=(盈+虧)÷分配差”的數量關系：
(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)
(2)有多少個蘋果? 3×12+11=47(個)
答：有小朋友12人，有47個蘋果。
例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天;如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米?
解 題中原定完成任務的天數，就相當于“參加分配的總人數”，按照“參加分配的總人數=(大虧-小虧)÷分配差”的數量關系，可以得知
原定完成任務的天數為
(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)
這條路全長為 300×(22+4)=7800(米)
答：這條路全長7800米。
例3 學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人;如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車?多少人?
解 本題中的車輛數就相當于“參加分配的總人數”，于是就有
(1)有多少車?(30-0)÷(45-40)=6(輛)
(2)有多少人? 40×6+30=270(人)
答：有6 輛車，有270人。
15 工程問題
【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。
【數量關系】
解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾)，進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。
工作量=工作效率×工作時間
工作時間=工作量÷工作效率
工作時間=總工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
【解題思路和方法】
變通后可以利用上述數量關系的公式。
例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成?
解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的 1/10;乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15;兩隊合做，每天可以完成這項工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式： 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)
答：兩隊合做需要6天完成。
例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個?
解 設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成(1/6-1/8)，二人合做時每小時完成(1/6+1/8)。因為二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以
(1)每小時甲比乙多做多少零件?
24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(個)
(2)這批零件共有多少個?
7÷(1/6-1/8)=168(個)
答：這批零件共有168個。
解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：
兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8=4∶3
由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4-3 / 4+3 =1/7
所以，這批零件共有 24÷1/7=168(個)
例3 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成?
解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是
60÷12=5 60÷10=6 60÷15=4
因此余下的工作量由乙丙合做還需要
(60-5×2)÷(6+4)=5(小時)
答：還需要5小時才能完成。
例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池;當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池;現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管?
解 注(排)水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。
要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。
我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為(1×4×5)，2個進水管15小時注水量為(1×2×15)，從而可知
每小時的排水量為 (1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1
即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知
一池水的總工作量為 1×4×5-1×5=15
又因為在2小時內，每個進水管的注水量為 1×2，
所以，2小時內注滿一池水
至少需要多少個進水管? (15+1×2)÷(1×2)
=8.5≈9(個)
答：至少需要9個進水管。
16 正反比例問題
【含義】 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定(即商一定)，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。
【數量關系】
判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。
【解題思路和方法】
解決這類問題的重要方法是：把分率(倍數)轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。
正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。
例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米?
解 由條件知，公路總長不變。
原已修長度∶總長度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
現已修長度∶總長度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于(4-3)份，從而知公路總長為 300÷(4-3)×12=3600(米)
答： 這條公路總長3600米。
例2 張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題?
解 做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系
設91分鐘可以做X應用題 則有 28∶4=91∶X
28X=91×4 X=91×4÷28 X=13
答：91分鐘可以做13道應用題。
例3 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完?
解 書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關系
設X天可以看完，就有 24∶36=X∶15
36X=24×15 X=10
答：10天就可以看完。
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