教學總結：初中數學常見的幾種數學思想
教學總結：初中數學常見的幾種數學思想
與數學基礎知識一樣,數學思想也是數學的重要內容之一。重視與加強中學數學思想的教學,這對于抓好雙基,培養能力以及培養學生的數學素質都具有十分重要的作用。本人結合幾年的初中數學教學實踐,認為初中數學常見的數學思想有以下幾種:
一.字母代數思想
用字母代替數字,是初中生最先接觸到的數學思想,也是初等代數以至整個數學最重要最基礎的數學思想。
在初中數學中,用字母代替數字,各種量、量的關系、量的變化以及量與量之間進行推理與演算,都是以符號形式(包括數字、字母、圖形和圖表以及各種特定的符號)來表示的,即進行著一整套的形式化的數學語言。例如:用∣a︱表示某個數的絕對值,用- a表示某個數的相反數,用an表示n個a連續相乘的積,用s=40t表示路程與時間的關系,用一對有序實數對(x,y)表示某個點在平面直角坐標系中的位置。
初中數學教材在七(上)第三章講解用字母代替數字,也就是當學生剛從小學生轉變為初中生,便開始從原有的數字與數字的運算轉變為用字母代替數字進行推理與運算,這對大多數學生來說要有一個轉變適應的過程,所以蘇科版新教材以一些豐富、貼近學生生活的情境來引導學生逐漸掌握用字母代替數的數學思想。用字母表示數是“代數”的基礎和出發點,也是“符號感”的主要表現之一。其實,日常生活中人們經常用符號表示某種意義,例如:天氣預報圖標、交通標志、五線譜等,從這樣的情境出發,有助于學生借助已有經驗感受“在數學中,經常用字母表示數”。
用字母表示數是從算術到代數的重要轉折點,但是,它的學習是建立在算術學習基礎上的。教師應當通過具體數字運算,讓學生觀察,總結規律,形成對“用字母表示數”的必要性的認識。實際上,過去學過的運算律(交換律、結合律、分配律等)、簡單幾何圖形的面積、行程問題等知識,都能說明用字母表示數的重要意義:普遍性、應用的廣泛性等。
總之,要學好初中數學首先必須掌握好用字母代替數的數學思想。
二.化歸轉換思想
化歸,即轉化與歸結的意思。把有待解決或未解決的問題,通過轉化過程,歸結為所熟悉的規范性問題或已解決的問題中去,從而求得問題解決的思想。
人們在研究運用數學的長期實踐中,獲得了大量的成果,也積累了豐富的經驗,許多問題的解決已經形成了固定的方法模式和約定俗成的步驟。人們把這種有規定的解決方法和程序的`問題,叫做規范問題,而把一個未知的或復雜的問題轉化為規范問題的過程稱為問題的化歸。
例如,對于整式方程(如一元一次方程、一元二次方程),人們已經掌握了等式基本性質、求根公式等理論,因此,求解整式方程的問題是規范問題,而把有關分式方程通過去分母轉化為整式方程的過程,就是問題的規范化。
為了實現“化歸”,數學中常常借助于“代換”,又稱之為轉換。代數中有恒等變換,方程、不等式的同解變換;幾何中全等變換、相似變換、等積變換。轉換是手段,揭示其中不變的東西才是目的,為了不變的目的去探索轉換的手段就構成解題的思路和技藝。例如,已知x2+y2+2x-6y+10=0,求xy。對于初中生來說本題無法直接解出關于x,y的二元二次方程。但是如果從完全平方公式著手,已知條件可以轉換為(x+1)2+(y-3)2=0。又因為偶次冪具有非負性,即(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,所以(x+1)2=0,(y-3)2=0,從而得出x=-1,y=3。最終問題得以解決。
三.分解組合思想
當面臨的數學問題不能以統一的形式解決時,可以把涉及的范圍分解為若干個分別研究問題局部的解。然后通過組合各局部的解而得到原問題的解,這種思想就是分解組合思想,其方法稱為分類討論法。
分解組合,是重要的數學思想之一。對于復雜的計算題、證明題等,運用分解組合的思想方法去處理,可以幫助學生進行全面嚴謹的思考和分析,從而獲得合理有效的解題途徑。例如,等腰三角形兩邊長分別是4和5,求這個等腰三角形的周長。解決本題首先分類討論:①若4為底,則5為腰,三邊長分別為4,5,5,可以構成三角形,此時周長為14;②若5為底,則4為腰,三邊長分別為5,4,4,可以構成三角形,此時周長為13。
四.方程函數思想
方程的思想和函數的思想是處理常量數學與變量數學的重要思想,在解決一般數學問題中具有重大的意義。在初中數學中,方程與函數是極為重要的內容,對各類方程和簡單函數都作較為系統的學習研究。對一個較為復雜的問題,常常只須尋找等量關系,列出一個或幾個方程(方程組)或函數關系式,就能很好地得到解決。
例如,某燈具店采購了一批某種型號的節能燈,共用去400元。在搬運過程中不慎打碎了5盞,該店把余下的燈每盞加價4元全部售出,然后用所得的錢又采購了一批這種節能燈,且進價與上次相同,但購買的數量比上次多了9盞,求每盞燈的進價。
五.數形結合思想
數形結合不僅使幾何問題獲得了有力的代數工具,同時也使許多代數問題具有了顯明的直觀性。數形結合是初中數學中十分重要的思想,在數學問題的解決中具有數學獨特的策略指導與調節作用。例如,二元一次方程組的圖像解法,把數量關系問題轉化為圖形性質問題;A,B兩地之間修建一條 100千米 長的公路,C處是以C點為中心,方圓 50千米 的自然保護區,A在C西南方向,B在C的南偏東30度方向,問公路AB是否會經過自然保護區?
當然,初中數學所涉及到的數學思想不止這五種。以上只是本人對初中數學常見的幾種數學思想的淺見,在今后的教學實踐中本人將更加重視與加強對學生進行數學思想的數學,提高學生的解題能力,培養學生的數學素養。
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