三角形的角平分線

時間：2021-07-30 18:30:27 教案我要投稿

三角形的角平分線

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、理解三角形的內(nèi)外角平分線定理；

　　2、會證明三角形的內(nèi)外角平分線定理；

　　3、通過對定理的證明，學(xué)習(xí)幾何證明方法和作輔助線的方法；

　　4、培養(yǎng)邏輯思維能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　1、幾何證明中的證法分析；

　　2、添加輔助線的方法。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　如何添加有用的輔助線。

　　教學(xué)關(guān)鍵：

　　抓住相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行教學(xué)。

　　教學(xué)方法：

　　“四段式”教學(xué)法，即讀、議、講、練。

　　一、閱讀課本，注意問題

　　1、復(fù)習(xí)舊知識，回答下列問題

　　①在等腰三角形中，怎樣從等邊得出等角？又怎樣從等角得出等邊？請畫圖說明。

　　②輔助線的作法中，除了過兩個點(diǎn)連接一條線段外，最常見的就是過某個已知點(diǎn)作某條已知直線的平行線。平行線有哪些性質(zhì)？

　　③怎樣判斷兩個三角形是相似的？相似三角形最基本的性質(zhì)是什么？

　　④幾何證明中怎樣構(gòu)造有用的相似三角形？

　　2、閱讀課本，弄清楚教材的內(nèi)容，并注意教材上是怎樣講的。

　　提示：課本上在這一節(jié)講了三角形的內(nèi)外角平分線定理，每個定理各講了一種證明方法。為了敘述定理的需要，課本上還講了線段的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)兩個概念。最后用一個例題來說明怎樣運(yùn)用三角形的內(nèi)外角平分線定理。閱讀時要注意課本上有關(guān)問題的敘述、分析以及作輔助線的方法。通過適當(dāng)?shù)穆?lián)想和猜測，找出一些課本上尚未出現(xiàn)的新的證明方法。

　　3、注意下列問題：

　　⑴如圖，等腰中，頂角的平分線交底邊于，那么，圖中出現(xiàn)的相等線段是xxx即xxx。通過比較得到。

　　⑵如果上面問題中的換成任意三角形，即右圖的，平分，交于，那么，是不是還成立？請同學(xué)們用刻度尺量一量線段的長度，計(jì)算，然后再比較（小的誤差忽略不計(jì)）。

　　⑶三角形的內(nèi)角平分線定理說的是什么意思？課本上是怎樣寫已知、求證的？

　　⑷課本上是怎樣進(jìn)行分析、證明的？都用了哪些學(xué)過的知識？證明的根據(jù)是什么？

　　⑸課本上證明的過程中是怎樣作輔助線的？這樣作輔助線的目的是什么？

　　⑹過、、三點(diǎn)能不能作出有用的輔助線？如果能，輔助線應(yīng)該怎樣作？各能作出幾條？

　　⑺就作出的輔助線，怎樣尋找證明的思路和方法？分析的過程中用到了哪些知識？

　　⑻你能不能類似地?cái)⑹鋈切蔚耐饨瞧椒志€定理？

　　⑼回答練習(xí)中的第一題。

　　⑽總結(jié)證明方法和作輔助線的方法。

　　⑾注意內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)兩個概念及其應(yīng)用。

　　4、閱讀指導(dǎo)叢書《平面幾何》第二冊。

　　⑴注意輔助線中平行線的作法，通過對圖、、的觀察分析，找出解決問題的證明方法。

　　⑵叢書利用正弦定理中的面積公式來證明三角形的內(nèi)角平分線定理，既把有關(guān)的知識聯(lián)系起來、拓展了解題思路，又為我們提供了一種比較簡單的解決問題的方法，值得我們借鑒。要注意三角形面積的幾種不同的計(jì)算方法。

　　二、互相討論，解答疑點(diǎn)

　　1、上面提出的問題，希望大家獨(dú)立思考、獨(dú)立完成。根據(jù)已有的思路和線索，參照課本上的方法進(jìn)行分析。

　　2、思考中實(shí)在是有困難的同學(xué)，可以和周圍的同學(xué)互相討論，發(fā)表看法；也可以請老師幫助、提示或指點(diǎn)。

　　3、把同學(xué)之間討論的結(jié)果，整理成一個完整的證明過程，寫出每一步證明的根據(jù)。最后，適當(dāng)?shù)乜偨Y(jié)一些解題的經(jīng)驗(yàn)和方法。

　　三、講評糾正，整理內(nèi)容

　　1、把學(xué)生討論的結(jié)果歸納出來，加以補(bǔ)充說明，糾正錯誤后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸惪偨Y(jié)，點(diǎn)明證題法中的要點(diǎn)。

　　①證明比例式的依據(jù)是平行截割定理的推論，因此，我們作的輔助線都是平行線。

　　②從上述幾種證明方法可以看出，證明的關(guān)鍵在于通過作輔助線把某些線段“移動”到適當(dāng)?shù)奈恢茫员愀鶕?jù)平行截割定理的推論得出所要的結(jié)論。

　　③輔助平行線的作法，只能是過xxx三點(diǎn)分別作不過、三點(diǎn)的邊（線段）的平行線，和另一條邊（線段）的延長線相交，構(gòu)成一個等腰三角形，達(dá)到“移動”的目的。

　　2、整理教學(xué)內(nèi)容

　　⑴線段的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)

　　（ⅰ）定義：

　　①在線段上，把線段分成兩條線段的點(diǎn)叫做這條線段的內(nèi)分點(diǎn)。

　　②在線段的延長線上的點(diǎn)叫做這條線段的外分點(diǎn)。

　　（ⅱ）舉例

　　點(diǎn)在線段上，把線段分成了和兩條線段，所以，點(diǎn)是線段的內(nèi)分點(diǎn)，線段和叫做點(diǎn)內(nèi)分線段所得的兩條線段。

　　點(diǎn)在線段的延長線上，和、兩個端點(diǎn)構(gòu)成了、兩條線段，所以，點(diǎn)是線段的外分點(diǎn)，線段和叫做點(diǎn)外分線段所得的兩條線段。

　　（ⅲ）條件

　　①內(nèi)分點(diǎn)的條件：a）在已知線段上；

　　b）把已知線段分成另外兩條線段。

　　②外分點(diǎn)a）在已知線段的延長線上；

　　b）和已知線段的兩端點(diǎn)構(gòu)成另外的兩條線段。

　　（ⅳ）特殊情況

　　a）線段的中點(diǎn)是不是線段的內(nèi)分點(diǎn)？內(nèi)分點(diǎn)是不是線段的中點(diǎn)？

　　b）線段的黃金分割點(diǎn)是不是線段的內(nèi)分點(diǎn)？內(nèi)分點(diǎn)是不是線段的黃金分割點(diǎn)？

　　c）一條已知線段有幾個中點(diǎn)？有幾個黃金分割點(diǎn)？有幾個內(nèi)分點(diǎn)？幾個外分點(diǎn)？

　　（ⅰ）定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。

　　（ⅱ）已知：中，平分，交于。

　　求證：xxx。

　　（ⅲ）簡單分析

　　從結(jié)論來考慮，橫著看，兩個比的前項(xiàng)、在中，兩個比的后項(xiàng)、在中。按照相似三角形的性質(zhì)，只要∽，那么，結(jié)論就是成立的。但是，與不是一對相似三角形，所以，不可能用相似三角形來證明。豎著看，有和，事實(shí)上，不成一個三角形。若是從“平行線分兩條線段所得的.線段對應(yīng)成比例”（平行截割定理的推論）來考慮，顯然，圖中也沒有平行線。因此，要想得到結(jié)論，只有把其中的某條線段進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊苿樱蛊錁?gòu)成相似三角形的對應(yīng)邊，或者成為兩條直線上被平行線截得的對應(yīng)線段。這樣，我們就確定了輔助線的作法以平行線為主。

　　例如，把線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌鹊綀D中的位置（即的延長線）。由于旋轉(zhuǎn)不改變線段的長度，所以，從旋轉(zhuǎn)情況可得。由于平分，所以，連接后可以證明。因此，實(shí)際證明時，一般都敘述為“過點(diǎn)作交的延長線于”。不管是哪種說法，其結(jié)果都是一樣的。類似地，我們還可以把線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌鹊蕉它c(diǎn)落在線段的延長線上，同樣也可以證明。

　　（ⅳ）證法提要

　　①證法一：如上圖，過點(diǎn)作交的延長線于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）。通過等量代換便可以得到結(jié)論。同樣，過點(diǎn)作的平行線和邊的延長線相交，也可以證得結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。

　　②證法二：如右圖，過點(diǎn)作交的延長線于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）。通過等量代換便可以得到所要的結(jié)論。同樣，過點(diǎn)作的平行線和的延長線相交，也可以得到結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。

　　③證法三：如右圖，過點(diǎn)作交于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）；c)。通過等量代換便可以得到所要的結(jié)論。同樣，過點(diǎn)作的平行線和相交，也可以得到結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。

　　④證法四：如下頁圖，過點(diǎn)作交于，根據(jù)三角形的面積公式可得：xxx

　　又根據(jù)正弦定理的面積公式有：

　　通過比較就可以得到：所要的結(jié)論。

　　（ⅰ）定理：三角形的外角平分線外分對邊所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。

　　（ⅱ）已知：中，是的一個外角，平分，交的延長線于。

　　求證：xxx。

　　（ⅲ）簡單分析：（類同內(nèi)角平分線定理的分析方法）

　　（ⅳ）證法提要；（類同內(nèi)角平分線定理的分析方法）