高中數學函數的應用綜合檢測試題
第3章函數的應用綜合檢測試題（含解析新人教A版必修1）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2013～2014學年度河北孟村回民中學月考試題)若函數f(x)在[a，b]上連續，且同時滿足f(a)f(b)＜0，f(a)f(a＋b2)＞0.則()
A．f(x)在[a，a＋b2]上有零點 B．f(x)在[a＋b2，b]上有零點
C．f(x)在[a，a＋b2]上無零點 D．f(x)在[a＋b2，b]上無零點
[答案] B
[解析] 由已知，易得f(b)f(a＋b2)＜0，因此f(x)在[a＋b2，b]上一定有零點，但在其他區間上可能有零點，也可能沒有零點．
2．函數y＝1＋1x的零點是()
A．(－1,0) B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝0
[答案] B
3．下列函數中，增長速度最快的是()
A．y＝20x B．y＝x20
C．y＝log20x D．y＝20x
[答案] D
4．已知函數f(x)＝2x－b的零點為x0，且x0(－1,1)，那么b的取值范圍是()
A．(－2,2) B．(－1,1)
C．(－12，12) D．(－1,0)
[答案] A
[解析] f(x)＝2x－b＝0，得x0＝b2，
所以b2(－1,1)，所以b(－2,2)．
5．函數f(x)＝ax＋b的零點是－1(a0)，則函數g(x)＝ax2＋bx的零點是()
A．－1 B．0
C．－1和0 D．1和0
[答案] C
[解析] 由條件知f(－1)＝0，b＝a，g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零點為0和－1.
6．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(xR)的部分對應值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
由此可以判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根所在的區間是()
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－，－3)和(4，＋)
[答案] A
[解析] ∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，
f(－3)f(－1)＜0.
∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，
f(2)f(4)＜0.方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在的區間分別是(－3，－1)和(2,4)．
7．用二分法求方程f(x)＝0在區間(1,2)內的唯一實數解x0時，經計算得f(1)＝3，f(2)＝－5，f(32)＝9，則下列結論正確的是()
A．x0(1，32) B．x0＝－32
C．x0(32，2) D．x0＝1
[答案] C
[解析] 由于f(2)f(32)＜0，則x0(32，2)．
8．在一次數學試驗中，應用圖形計算器采集到如下一組數據：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
則x，y的函數關系與下列哪類函數最接近？(其中a，b為待定系數)()
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋bx
[答案] B
[解析] 代入數據檢驗，注意函數值．
9．設a，b，k是實數，二次函數f(x)＝x2＋ax＋b滿足：f(k－1)與f(k)異號，f(k＋1)與f(k)異號．在以下關于f(x)的零點的說法中，正確的是()
A．該二次函數的零點都小于k
B．該二次函數的零點都大于k
C．該二次函數的兩個零點之間差一定大于2
D．該二次函數的零點均在區間(k－1，k＋1)內
[答案] D
[解析] 由題意得f(k－1)f(k)＜0，f(k)f(k＋1)＜0，由零點的存在性定理可知，在區間(k－1，k)，(k，k＋1)內各有一個零點，零點可能是區間內的任何一個值，故D正確．
10．(2013～2014山東梁山一中期中試題)若函數f(x)＝x3－x－1在區間[1,1.5]內的一個零點附近函數值用二分法逐次計算列表如下
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f(x) －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151
那么方程x3－x－1＝0的一個近似根(精確度為0,1)為()
A．1.2 B．1.3125
C．1.4375 D．1.25
[答案] B
[解析] 由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且
1．375－1.3125＜0.1，故選B.
11．(2013～2014河北廣平縣高一期中試題)“龜兔賽跑”講過了這樣一個故事：領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發現烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到了終點，用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路線，t為時間，則圖中與故事情節相吻合的是()
[答案] D
12．已知函數f(x)的圖象如圖，則它的一個可能的解析式為()
A．y＝2x B．y＝4－4x＋1
C．y＝log3(x＋1) D．y＝x13 (x0)
[答案] B
[解析] 由于過(1,2)點，排除C、D；由圖象與直線y＝4無限接近，但到達不了，即y＜4知排除A，選B.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．如函數f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一個零點為0，則另一個零點是________．
[答案] 3
[解析] 代入x＝0得m＝－3.
f(x)＝x2－3x，則x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3
因此另一個零點為3.
14．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區間(2,4)上的實數根時，取中點x1＝3，則下一個有根區間是________．
[答案] (2,3)
[解析] 設f(x)＝x3－3x－5，則f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，則下一個有根區間是(2,3)．
15．已知函數y＝f(x)是R上的`奇函數，其零點為x1，x2，…，x2013，則x1＋x2＋…＋x2013＝________.
[答案] 0
[解析] 由于奇函數圖象關于原點對稱，因此零點是對稱，所以x1＋x2＋…＋x2013＝0.
16.已知y＝x(x－1)(x＋1)的圖象如圖所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，則下列關于f(x)＝0的解敘述正確的是________．
①有三個實根；
②x＞1時恰有一實根；
③當0＜x＜1時恰有一實根；
④當－1＜x＜0時恰有一實根；
⑤當x＜－1時恰有一實根(有且僅有一實根)．
[答案] ①⑤
[解析] f(x)的圖象是將函數y＝x(x－1)(x＋1)的圖象向上平移0.01個單位得到．故f(x)的圖象與x軸有三個交點，它們分別在區間(－，－1)，(0，12)和(12，1)內，故只有①⑤正確．
三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)求函數f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數．
[解析] 解法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0，
函數f(x)在區間(0,2)上必定存在零點．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在區間(－1，＋)上為增函數，故函數f(x)有且只有一個零點．
解法二：在同一坐標系內作出函數h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的圖象，如圖所示，由圖象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一個交點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點．
18．(本小題滿分12分)北京市的一家報刊攤點，從報社買進《北京日報》的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以每份0.05元的價格退回報社．在一個月(30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？
[解析] 設每天從報社買進x份報紙，每月獲得的總利潤為y元，則依題意有
y＝0.10(20x＋10250)－0.1510(x－250)
＝0.5x＋625，x[250,400]．
該函數在[250,400]上單調遞增，所以x＝400時，ymax＝825(元)．
答：攤主每天從報社買進400份時，每月所獲得的利潤最大，最大利潤為825元．
19．(本小題滿分12分)某公司今年1月份推出新產品A，其成本價為492元/件，經試銷調查，銷售量與銷售價的關系如下表：
銷售價x(元/件) 650 662 720 800
銷售量y(件) 350 333 281 200
由此可知，銷售量y(件)與銷售價x(元/件)可近似看作一次函數y＝kx＋b的關系(通常取表中相距較遠的兩組數據所得的一次函數較為精確)．
試問：銷售價定為多少時，1月份利潤最大？并求最大利潤和此時的銷售量．
[解析] 由表可知350＝650k＋b，200＝800k＋bk＝－1，b＝1000，
故y＝－x＋1000.
設1月份利潤為W，則
W＝(x－492)(－x＋1000)＝－x2＋1492x－492000＝－(x－746)2＋64516，
當x＝746，Wmax＝64516，此時銷售量為1000－746＝254件，即當銷售價定為746元/件時，1月份利潤最大，最大利潤為64516元，此時銷售量為254件．
20．(本小題滿分12分)用二分法求f(x)＝x3＋x2－2x－2在x的正半軸上的一個零點(誤差不超過0.1)．
[解析] 顯然f(2)＝23＋22－22－2＝6＞0.
當x＞2時f(x)＞0，又f(0)＝－2＜0，f(1)＝－2＜0，
故f(x)在(1,2)區間內有零點.
區間 中點值 中點函數值
[1,2] 1.5 0.625
[1,1.5] 1.25 －0.984
[1.25,1.5] 1.375 －0.260
[1.375,1.5] 1.438 0.165
[1.375,1.438]
因為|1.375－1.438|＝0.063＜0.1，故f(x)＝x3＋x2－2x－2的零點為x＝1.4.
21．(本小題滿分12分)某城市有甲，乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設備和服務都很好，但收費方式不同．甲家每張球臺每小時5元；乙家按月計費，一個月中30小時以內(含30小時)每張球臺90元，超過30小時的部分每張球臺每小時2元．小張準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，但不超過40小時．設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(1540)，在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(1540)．
(1)求f(x)和g(x)；
(2)問：小張選擇哪家比較合算？為什么？
[解析] (1)f(x)＝5x(1540)；
g(x)＝90，1530，2x＋30，30＜x40.
(2)由f(x)＝g(x)，得1530，5x＝90或30＜x40，5x＝2x＋30，
即x＝18或x＝10(舍)．
當15x＜18時，f(x)－g(x)＝5x－90＜0，
即f(x)＜g(x)，應選甲家；
當x＝18時，f(x)＝g(x)，即可以選甲家也可以選乙家．
當18＜x30時，f(x)－g(x)＝5x－90＞0，
即f(x)＞g(x)，應選乙家．
當30＜x40時，
f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30＞0，
即f(x)＞g(x)，應選乙家．
綜上所述：當15x＜18時，選甲家；
當x＝18時，可以選甲家也可以選乙家；
當18＜x40時，選乙家．
22．(本小題滿分12分)一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的14，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的22.
(1)求每年砍伐面積的百分比．
(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多還能砍伐多少年？
[分析] (1)根據10年的砍伐面積為原來的一半，列方程求解．
(2)根據到今年為止，森林剩余面積為原來的22，列方程求解．
(3)求出第n年后森林剩余面積，根據森林面積至少要保留原面積的14列不等式求解．
[解析] (1)設每年砍伐面積的百分比為x(01)，則a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12.
解得x＝1－(12)110 .
(2)設經過m年剩余面積為原來的22，則
a(1－x)m＝22a，即(12)m10 ＝(12)12 ，
m10＝12，解得m＝5.
故到今年為止，已砍伐了5年．
(3)設從今年開始，以后砍伐了n年，
則n年后剩余面積為22a(1－x)n.
令22a(1－x)n14a，即(1－x)n24，
(12)n10 (12)32 ，n1032，解得n15.
故今后最多還能砍伐15年．
[點評] 通過本題，重點強調高次方程、指數不等式的解法．對于高次方程應讓學生明確，主要是開方運算；對于指數不等式，強調化為同底，應用指數函數的單調性求解，本題中化為同底是一大難點．
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