平面向量在代數中的應用的說課稿
1 教材與學情分析
“平面向量的應用”這節教材在二期課改課本第 10 章最后一節 10.6，屬于拓展內容。教材選取 5 個例題說明向量作為工具在數學、物理中的廣泛應用性，其中例 1 和例 2 說明向量在平面幾何中的應用，例 3（柯西不等式的證明）說明向量在代數中的應用，例 4 和例 5 說明向量在力學中的應用。已學完“力學”的高二學生對向量在力學中的應用并不陌生，聯想向量相等、平行向量的關系、垂直向量的關系等解決平面幾何問題讓學生感到也較自然，因為這是形——形的轉化、很直觀，而且涉及的向量知識也較容易，學生掌握得也好。而聯想向量模的意義、“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關系”、“數量積的平方小于或等于模的平方的積”、將“向量加法的多邊形法則”轉化為 “有關坐標的等式”等解決函數最值、不等式和等式證明、三角求值等問題讓學生感到比較困難，其原因之一是以上的知識掌握和理解有一定的難度，二是聯想構造“數——形——數”轉化的要求高、綜合性強、較抽象，三是教學中能力培養不到位，因此在“平面向量在代數中的應用”的教學中能力培養是關鍵。
本課是在學生已經學習“向量在平面幾何中的應用”基礎上，學習“向量在代數中的應用”。圍繞以上向量的概念和運算性質的應用精心問題，引導學生觀察、分析表達式的特征，聯想向量知識，通過構造向量將已知條件或結論轉化為向量表達、進行向量運算或向量性質的應用將所得的結果轉化為所求結論的過程，學生會對數學思想方法中的“數形結合”、“轉化”等有更深刻的理解；通過變式教學、特殊與一般的研究，感受數學發現的樂趣；通過錯誤辨析、一題多解、一題多變的探究，夯實學生基礎，達到深刻理解向量的概念，熟練掌握向量的運
算和性質的目的，因而本節課的教學有助于學生能力的提高。
本課的教學對象為松江二中高二學生，他們已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運算和性質，并能進行簡單應用，有“數形結合”的應用意識，善于思考和發現，有較高的認知水平。因此，有可能也有必要引導他們進行問題探究。關于“數形結合”的思想應用，來源于兩個方面，一是已體會到向量本身就是一個數形結合的產物，它兼具代數的抽象、嚴謹和幾何的直觀特點，二是通過基本函數的圖象與性質的學習，體會到應用“數形結合”研究函數性質、解決函數的零點、方程和不等式的解等問題。正如美國數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并能創造性思索問題的解法”。所以本節課以“向量在代數中的應用”為載體，進一步讓學生體驗“數形結合”、“轉化”的思想應用為目標，培養學生的探究精神為歸宿，促進學生思維能力的提高。
2．教學目標
2．1 學生通過問題探究，深刻理解向量的概念，熟練掌握向量的運算和性質，并能著意聯想恰當應用，解決有關代數問題；
2．2 學生通過一題多解、一題多變的研究，揭示向量在代數問題中的應用本質，體驗數形結合思想及特殊與一般關系的應用，感受數學發現的樂趣，培養學生的創新意識。
3．教學重點、難點、注意點
本課重點是加深向量概念、向量的運算和性質的理解，并應用數形結合與轉化思想解決有關代數問題；難點是如何數形轉化和有關向量模的不等式等號成立的本質理解；注意點要求學生規范表達數形結合解題的步驟。
重點突破：以問題為出發點，觀察、分析、展開聯想，實踐探索，展示學生在討論、回答過程中的思維活動，體會問題本質。難點突破：復習回顧有關“向量實數化”的特征，如模、數量積、坐標的表示等，通過問題銜接設計，鋪墊暗示，一題多解、一題多變、錯題辨析、幾何畫板的應用等達到突破難點目的。
4． 教學方法與教學手段
4．1 充分體現“以學生為主體，教師為主導”的原則
注重問題設計，體現教師的導向功能，展示學生是展開聯想的主體；
重視實踐探索，體現教師的導律功能，展示學生是揭示規律的主體
應用媒體實驗，體現教師的導標功能，展示學生是體驗演示的主體
4．2 采取教師指導下的學生實踐、探索的模式，把問題作為教學的出發點，指導嘗試，總結反思。
4．3 powerpoint、幾何畫板、多媒體系統
5．課堂設計
5．1 新課引入
（1）用 PPT 在屏幕上顯示華羅庚的相片和華羅庚關于“數形結合”的至理名言“數缺形時少直觀 形離數時難入微”的話，讓學生體驗數形結合是數學中非常重要的'思想和解決問題的常用策略，以數學家的語言激發同學進一步學好數學的愿望；
（2）向量本身就是一個數形結合的產物，它兼具代數的抽象、嚴謹和幾何的直觀特點，引導學生回顧有關“向量實數化”的特征，如模、數量積、坐標的表示等，期望能進一步說出有關的不等式和等式，如模的意義、“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關系”、“數量積的平方小于或等于模的平方的積”、將“向量加法的多邊形法則”轉化為 “有關坐標的等式”……
（3）提出課題，在學習“向量在平面幾何中的應用”基礎上，學習“向量在代數中的應用”。
5．2 問題探究
出示問題 1. 設 a、b 為不相等的實數， 要求學生自主探索、相互討論。
預計：學生思路分下列三種類型：（1）有根號想到兩次平方分析；（2）由根號內的現性特征，聯想向量的模概念，構造向量，將結論轉化為向量表達式，從而揭示“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關系”本質；（3）由根號內的現性特征，聯想兩點間距離公式，構造點坐標，將結論轉化為平面上三點間距離的不等關系，從而揭示“兩線段長度之和（差）大于或等于（小于或等于）第三線段的長”本質。
分析：學生討論三種方法的異同點，期望說出（1）是處理絕對值和根號的一般代數方法；而（2）（3）都是應用數形轉化解決，體現本問題的特殊性，且強調（2）（3）兩種方法解題原理相同……
總結用向量解決代數問題的步驟：
（1）構造向量,將已知條件或結論轉化為向量表達式 (數----形);
（2）進行向量運算或向量性質的應用;
（3）將所得的結果轉化為所求的結論(形----數).
老師板書示范后，引導學生討論，條件不變的前提下，由于構造向量或向量性質應用的差異，會得到不同的結論，期望同學一題多變 ……
注意：“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關系”等號成立的條件，為下面突破難點作好鋪墊。
練一練
求函數的 最小值.
由學生的錯誤答案 13 ，引導學生尋找錯誤原因，并通過幾何畫板演示最小值取得的條件。強調最值的驗證，揭示數學問題的實質，突破難點。
引導：當看到
出示問題 2，即課本 P50 例 3，讓學生討論總結“數量積的平方小于或等于模的平方的積”的應用，就證明了柯西不等式，此時預計學生比較活躍，課堂進入高潮……
變式
并指出等號成立的充要條件.
預計：許多學生已觀察出仍然是“數量積的平方小于或等于模的平方的積”的應用，揭示數學本質本質，體會柯西不等式所反映實數關系的奇妙性，感受一般與特殊關系。
注意：“數量積的平方小于或等于模的平方的積”中等號成立的條件，為下面練習鋪墊，。
練一練
預計：學生使用計算器，很快發現值為 0……
教師因勢利導：你能不用計數器解決嗎？觀察角構成的等差數列的代數特征，公差為 72 ，項數為 5，如果構造五個單位向量且順次連接，那么將會得到什么圖形？學生動手實驗畫圖、幾何畫板演示，學生觀察、體驗。
預計：學生回答正五邊形，并很快解釋值為 0 的理由，將五個單位向量的起點放在原點處，終點連接，也構成正五邊形，原點為其中心，由力學知識所知，五個單位向量的和為零向量。
教師給予表揚，強調同學有很好的直覺思維，因為一個真理的發現很重要，而證明只是一個時間問題。正如大數學家、物理學家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。” 并鼓勵他完成邏輯證明。
教師點撥：既然構造五個單位向量能組成正五邊形，那么對于多邊形有怎樣的向量運算性質呢？
學生：此時五個單位向量的和為零向量的結論有了依據，學生興奮不已，而且得到了一個“副產品”，這五個角的正弦和也為 0。
由此引導學生自我編題，體驗一類三角求值的本質特點，從而進行一般研究。
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5.3 課堂總結，
（1） 深化理解向量概念，熟練掌握向量的運算和性質。掌握平面向量在代數中應用的解題步驟。
（2）善于抽象概括 ，從而做到觸類旁通； 研究問題的數學特征（代數意義、幾何意義），善于聯想，使數量關系與幾何形式有機結合。
（3）通過問題探究，應注重邏輯思維和直覺思維的有機滲透，因為直覺思維是創造性思維活動的一種表現。
5.4 注意
向量是解決數學問題的一個工具，當然如果不用向量，也可以解決有關問題。
但是如果由代數特征，聯想向量的概念和運算，巧設向量解題，那么可以簡化問題解決，也可以加強數形結合思想的應用。
5.5 作業（為進一步鞏固本課所學知識和方法，完成下列作業，因課上時間）
5.6 板書
投影和黑板（在代數中應用向量的運算性質解題的工具和問題 1 的解題過程及問題 2、3 的簡要過程一直留在黑板上，其它都通過投影顯示。）
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