初二數學知識點總結
在平時的學習中，說到知識點，大家是不是都習慣性的重視？知識點是傳遞信息的基本單位，知識點對提高學習導航具有重要的作用。為了幫助大家更高效的學習，以下是小編收集整理的初二數學知識點總結，歡迎大家分享。
一、三角形
一、三角形相關概念
1．三角形的概念
由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結所組成的圖形叫做三角形要點：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接．
2．三角形的表示
通常用三個大寫字母表示三角形的頂點，如用A、B、C表示三角形的三個頂點時，此三角形可記作△ABC，其中線段AB、BC、AC是三角形的三條邊，∠A、∠B、∠C分別表示三角形的三個內角．
3．三角形中的三種重要線段
三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段．
（1）三角形的角平分線：三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線．
注意：
①三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是經過角的頂點且平分此角的一條射線．
②三角形有三條角平分線且相交于一點，這一點一定在三角形的內部．
③三角形的角平分線畫法與角平分線的畫法相同，可以用量角器畫，也可通過尺規作圖來畫．
（2）三角形的中線：在一個三角形中，連結一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線．注意：
①三角形有三條中線，且它們相交三角形內部一點，交點叫重心．
②畫三角形中線時只需連結頂點及對邊的中點即可．
（3）三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。注意：
①三角形的三條高是線段
②畫三角形的高時，只需要三角形一個頂點向對邊或對邊的延長線作垂線，連結頂點與垂足的線段就是該邊上的高．
二、三角形三邊關系定理
①三角形兩邊之和大于第三邊，故同時滿足△ABC三邊長a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．
②三角形兩邊之差小于第三邊，故同時滿足△ABC三邊長a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：已知兩邊可得第三邊的取值范圍是：兩邊之差<第三邊<兩邊之和
三、三角形的穩定性
三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個性質就叫做三角形的穩定性．例如起重機的支架采用三角形結構就是這個道理．
四、三角形的內角
三角形內角和性質的推理方法有多種，常見的有以下幾種：
結論1：三角形的內角和為180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
（1）構造平角
①可過A點作MN∥BC(如圖)
②可過一邊上任一點，作另兩邊的平行線
（2）構造鄰補角，可延長任一邊得鄰補角
構造同旁內角，過任一頂點作射線平行于對邊
結論2：在直角三角形中，兩個銳角互余．在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°
（因為∠A+∠B+∠C=180°）
注意：①在三角形中，已知兩個內角可以求出第三個內角
如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）
②在三角形中，已知三個內角和的比或它們之間的關系，求各內角．
如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度數．
五、三角形的外角
1．意義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD為△ABC的一個外角，∠BCE也是△ABC的一個外角，這兩個角為對頂角，大小相等．
2．性質：
①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
②三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角.如圖中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.
③三角形的一個外角與與之相鄰的內角互補3．外角個數
過三角形的一個頂點有兩個外角，這兩個角為對頂角（相等），可見一個三角形共有六個外角．
六、三角形理論總結
1全等三角形的對應邊、對應角相等
2邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
3角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等
4推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等
5邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等
6斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
7定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
8定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上
9角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
10等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)
11推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
12等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
13推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°
14等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)
15推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形
16推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
17在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
18直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
19定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
20逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
七、多邊形
①多邊形的對角線n
2條對角線
②n邊形的內角和為（n－2）×180°
③多邊形的外角和為360°
二、軸對稱
一、軸對稱圖形
1.把一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。
2.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖關于這條直線
4.軸對稱與軸對稱圖形的性質
①關于某直線對稱的兩個圖形是全等形。
②如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 ③軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
④如果兩個圖形的對應點連線被同條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。
⑤兩個圖形關于某條直線成軸對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。
二、線段的垂直平分線
1.定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。
2.性質：線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等
3.判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上
三、用坐標表示軸對稱小結：
1.在平面直角坐標系中
①關于x軸對稱的點橫坐標相等,縱坐標互為相反數;
②關于y軸對稱的點橫坐標互為相反數,縱坐標相等;
③關于原點對稱的點橫坐標和縱坐標互為相反數；
④與X軸或Y軸平行的直線的兩個點橫（縱）坐標的關系；
⑤關于與直線X=C或Y=C對稱的坐標
點（x, y）關于x軸對稱的點的坐標為_（x, -y）_____.
點（x, y）關于y軸對稱的點的坐標為___（-x, y）___.
2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等
三、一次函數
1、一次函數，正比例函數的定義
(1)如果y=kx+b(k,b為常數，且k≠0),那么y叫做x的一次函數。
(2)當b=0時，一次函數y=kx+b即為y=kx(k≠0).這時，y叫做x的正比例函數。
注：正比例函數是特殊的一次函數，一次函數包含正比例函數。
2、正比例函數的圖象與性質
(1)正比例函數y=kx(k≠0)的圖象是過(0，0)(1，k)的一條直線。
(2)當k>0時y隨x的增大而增大直線y=kx經過一、三象限從左到右直線上升。
當k<0時y隨x的增大而減少直線y=kx經過二、四象限從左到右直線下降。
3、一次函數的圖象與性質
(1)一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是過(0，b)(-，0)的一條直線。
注：(0,b)是直線與y軸交點坐標，(-，0)是直線與x軸交點坐標.
(2)當k>0時y隨x的增大而增大直線y=kx+b(k≠0)是上升的
當k<0時y隨x的增大而減少直線y=kx+b(k≠0)是下降的
4、一次函數y=kx+b(k≠0,kb為常數)中k、b的符號對圖象的影響
(1)k>0,b>0直線經過一、二、三象限
(2)k>0,b<0直線經過一、三、四象限
(3)k<0,b="">0直線經過一、二、四象限
(4)k<0,b<0直線經過二、三、四象限
5、對一次函數y=kx+b的系數k,b的理解。
(1)k(k≠0)相同，b不同時的所有直線平行，即直線；直線(均不為零,為常數)
(2)k(k≠0)不同，b相同時的所有直線恒過y軸上一定點(0,b)，例如：直線y=2x+3,y=-2x+3,均交于y軸一點(0，3)
6、直線的平移：所謂平移，就是將一條直線向左、向右(或向上，向下)平行移動，平移得到的直線k不變，直線沿y軸平移多少個單位，可由公式得到，其中b1,b2是兩直線與y軸交點的縱坐標，直線沿x軸平移多少個單位，可由公式求得，其中x1,x2是由兩直線與x軸交點的橫坐標。
7、直線y=kx+b(k≠0)與方程、不等式的聯系
(1)一條直線y=kx+b(k≠0)就是一個關于y的二元一次方程
(2)求兩直線的交點，就是解關于x，y的方程組
(3)若y>0則kx+b>0。若y<0，則kx+b<0
(4)一元一次不等式，y1≤kx+b≤y2(y1，y2都是已知數，且y1
(5)一元一次不等式kx+b≤y0(或kx+b≥y0)(y0為已知數)的解集集就是直線y=kx+b上滿足y≤y0(或y≥y0)那條射線所對應的.自變量的取范圍。
8、確定正比例函數與一次函數的解析式應具備的條件
(1)由于比例函數y=kx(k≠0)中只有一個待定系數k，故只要一個條件(如一對x,y的值或一個點)就可求得k的值。
(2)一次函數y=kx+b中有兩個待定系數k,b，需要兩個獨立的條件確定兩個關于k,b的方程，求得k,b的值，這兩個條件通常是兩個點，或兩對x,y的值。
9、反比例函數
(1)反比例函數及其圖象
如果,那么，y是x的反比例函數。
反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，可用描點法畫出反比例函數的圖象
(2)反比例函數的性質
當K>0時，圖象的兩個分支分別在一、三象限內，在每個象限內，y隨x的增大而減小；
當K<0時，圖象的兩個分支分別在二、四象限內，在每個象限內，y隨x的增大而增大。
(3)由于比例函數中只有一個待定系數k，故只要一個條件(如一對x,y的值或一個點)就可求得k的值。
四、直角三角形
1.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的兩條直角邊的等于的平方。
逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。
2.含30°的直角三角形的邊的性質
定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么等于的一半。
3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
要點詮釋：①勾股定理的逆定理在語言敘述的時候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”。
②直角三角形的全等判定方法，HL還有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5種判定方法。
五、圖形的平移與旋轉
1.平移，是指在同一平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移。
2.平移性質
(1)圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發生變化。
(2)圖形平移后，對應點連成的線段平行(或在同一直線上)且相等。
六、整式乘除與因式分解
一．回顧知識點
1、主要知識回顧：
冪的運算性質：
am·an＝am＋n（m、n為正整數）
同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
＝amn（m、n為正整數）
冪的乘方，底數不變，指數相乘．
同底數冪相除，底數不變，指數相減．
零指數冪的概念：
0a＝1（a≠0）
任何一個不等于零的數的零指數冪都等于l．
負指數冪的概念：
1a＝a（a≠0，p是正整數）
任何一個不等于零的數的－p（p是正整數）指數冪，等于這個數的p指數冪的倒數．（m≠0，n≠0，p為正整數）也可表示為：
單項式的乘法法則：
單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連pp－pp同它的指數作為積的一個因式．
單項式與多項式的乘法法則：
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．
多項式與多項式的乘法法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．單項式的除法法則：
單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．
多項式除以單項式的法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
2、乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字語言敘述：兩個數的和（或差）的平方等于這兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍．
3、因式分解：
因式分解的定義．
把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．
掌握其定義應注意以下幾點：
（1）分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；
（2）因式分解必須是恒等變形；
（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．
弄清因式分解與整式乘法的內在的關系．
因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．
二、熟練掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構成一般情況下有三部分：
①系數一各項系數的最大公約數；
②字母——各項含有的相同字母；
③指數——相同字母的最低次數；
（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項．
（4）注意點：
①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；
②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的系數是正的．
2、公式法
運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用；
常用的公式：
22①平方差公式：a－b＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 222 a－2ab＋b＝（a－b）
七、二次根式
二次根式概念
本單元是在學習了平方根和算術平方根的意義的基礎上，主要內容有：
（1）二次根式的有關概念，如：二次根式定義、最簡二次根式、同類二次根式等；
（2）二次根式的性質；
（3）二次根式的運算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加減法等。
二次根式定義
1.二次根式的定義：
一般地，形如√a的代數式叫做二次根式，其中，a 叫做被開方數。當a≥0時，√a表示a的算術平方根；當a小于0時，√a的值為純虛數（在一元二次方程求根公式中，若根號下為負數，則方程有兩個共軛虛根）。
2.二次根式的性質：
①.任何一個正數的平方根有兩個,它們互為相反數.如正數a的算術平方根是x,則a的另一個平方根為﹣x；
②.零的平方根是零；
③.負數沒有平方根；
④.有理化根式：如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式,那么這兩個代數式互為有理化根式,也稱互為有理化因式；
⑤.無理數可用有理數形式表示。
3.二次根式的運算
二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減。
1）二次根式的加減運算：
先把式子中各項二次根式化成最簡二次根式,再參照多項式的加減運算,去括號與合并同類二次根式.
2）二次根式的乘法：
（1）法則：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）
（2）類型：
（i）單項二次根式乘以單項二次根式；
（ii）單項二次根式乘以多項二次根式；
（iii）多項二次根式乘以多項二次根式
在進行乘法運算時,有時可以應用乘法公式,使計算簡便.
3）二次根式的除法：
（1）法則：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）
（2）類型：
（i）單項二次根式除以單項二次根式（應用運算法則計算）
（ii）多項二次根式除以單項二次根式（轉化為單項二次根式除以單項二次根式）
（iii）除數是二個二次根式的和或是一個二次根式與一個有理數的和（把分母有理化進行運算,或與分式的運算類比思考,約去分子,分母中的公因式）.
4）二次根式的混合運算：
先乘方（或開方），再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；能利用運算律或乘法公式進行運算的，可適當改變運算順序進行簡便運算．
注意：進行根式運算時，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便．二次根式運算結果應盡可能化簡．另外，根式的分數必須寫成假分數或真分數，不能寫成帶分數。
5）有理化因式：如果兩個含有二次根式的非零代數式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個非零代數式互為有理化因式。
一個含有二次根式的代數式的有理化因式不唯一。如√a與√a（或者√a與-√a），√a-√b與√a+√b（或者√a-√b與-√a-√b）互為有理化因式。
6）二次根式的比較（重點）：
比較二次根式大小的幾種基本方法，如求近似值法、比較被開方數法，“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒數”、“平方”等方法。
1）移動因式法：就是將根號外的正因式移入根號內，從而轉化為比較被開方數的大小。
2）運用平方法：兩邊同時平方,轉化為比較冪的大小。
3）分母有理化法：此法是先將各自的分母有理化，再進行比較。
4）分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。
5）求倒數法：先求兩數的倒數，而后再進行比較。
6）運用媒介法：此法是借助中間量（定量或變量）巧妙轉換達到直觀比較的方法，類似于解方程中的換元法。
二次根式的應用：
主要體現在兩個方面：
1.利用從特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題;
2.利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。
二次根式常見考法：
(1)設計一些規律探索問題提高學生的想象力和創造力；
(2)聯系生活實際設計一些方案探究題。
初中數學二次根式誤區提醒：
(1)不能通過觀察，歸納、猜想尋找出共同的規律，并運用這種規律解決問題;
(2)不會應用數學的知識解決實際生活中的問題。
八、勾股定理
1：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要點詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2
3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
4：互逆命題的概念
如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。
5：勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
九、平行四邊形
1、平行四邊形的概念
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
平行四邊形用符號□abcd表示，如平行四邊形abcd記作□abcd，讀作平行四邊形abcd。
2、平行四邊形的性質
(1)平行四邊形的鄰角互補，對角相等。
(2)平行四邊形的對邊平行且相等。
推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。
(3)平行四邊形的對角線互相平分。
(4)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。
3、平行四邊形的判定
(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
4、兩條平行線的距離
兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。
平行線間的距離處處相等。
5、平行四邊形的面積
s平行四邊形=底邊長高=ah
6、特殊的平行四邊形
【菱形】
1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2.菱形的性質：
(1)菱形的性質有：
①平行四邊形的一切性質;
②四條邊都相等;
③對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角;
④菱形是對稱軸圖形，它有2條對稱軸，分別為它的兩條對角線所在的直線。
(2)菱形面積=底×高=對角線乘積的一半。
3.菱形的判定：
(1)用定義判定(即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)。
(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
(3)四條邊都相等的四邊形是菱形。
綜上可知，判定菱形時常用的思路：
四條邊都相等菱形
菱形 四邊形
平行
四邊形 有一組鄰邊相等菱形
【矩形】
1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2.矩形的性質：
(1)具有平行四邊形的一切性質;
(2)矩形的四個角都是直角;
(3)矩形的四個角都相等。
4.矩形的判定方法：
(1)用定義判定(即有一個角是直角的平行四邊形是矩形);
(2)三個角都是直角的四邊形是矩形;
(3)對角線相等的平行四邊形是矩形。
綜上可知，判定矩形時常用的思路：
【正方形】
1.正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2.正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。
(1)邊：四條邊相等，鄰邊垂直且相等，對邊平行且相等。
(2)角：四個角都是直角。
(3)對角線：對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。
3.正方形的判定
(1)根據定義判定;對角線相等的菱形是正方形;
(2)有一個角是直角的菱形是正方形;
(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形;
(4)對角線互相垂直的矩形是正方形。
4.特殊的平行四邊形之間的關系
矩形、菱形是特殊的平行四邊形，正方形是更特殊的平行四邊形，它既是矩形，又是菱形，它們之間的關系如圖所示：
5.依次連接四邊形各邊中點所得到的四邊形的形狀：
(1)依次連接任意四邊形各邊中點所得到的四邊形是平行變形;
(2)依次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是菱形;
(3)依次連接對角線垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是矩形;
(4)依次連接對角線垂直且相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是正方形;
十、數據的分析
本章主要研究平均數、中位數、眾數以及極差、方差等統計量的統計意義，學習如何利用這些統計量分析數據的集中趨勢和離散情況，并通過研究如何用樣本的平均數和方差估計總體的平均數和方差，進一步體會用樣本估計總體的思想。
1、平均數
①一般地，對于n個數x1x2.....xn，我們把（x1+x2+···+xn）叫做這n個數的算數平均數，簡稱平均數記為。
②在實際問題中，一組數據里的各個數據的“重要程度”未必相同，因而在計算，這組數據的平均數時，往往給每個數據一個權，叫做加權平均數
2、中位數與眾數
①中位數：一般地，n個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數
②一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數
③平均數、中位數和眾數都是描述數據集中趨勢的統計量
④計算平均數時，所有數據都參加運算，它能充分地利用數據所提供的信息，因此在現實生活中較為常用，但他容易受極端值影響。
⑤中位數的優點是計算簡單，受極端值影響較小，但不能充分利用所有數據的信息
⑥各個數據重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別意義
3、從統計圖分析數據的集中趨勢
4、數據的離散程度
①實際生活中，除了關心數據的集中趨勢外，人們還關注數據的離散程度，即它們相對于集中趨勢的偏離情況。一組數據中最大數據與最小數據的差，（稱為極差），就是刻畫數據離散程度的一個統計量
②數學上，數據的離散程度還可以用方差或標準差刻畫
③方差是各個數據與平均數差的平方的平均數
④其中是x1x2......xn平均數，s2是方差，而標準差就是方差的算術平方根
⑤一般而言，一組數據的極差、方差或標準差越小，這組數據就越穩定。
十一、平面直角坐標系
一、 在平面內，確定物體的位置一般需要兩個數據。
二、平面直角坐標系及有關概念
1、平面直角坐標系
在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，組成平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向;鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向;x軸和y軸統稱坐標軸。它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點;建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。
2、為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x軸和y軸上的點(坐標軸上的點)，不屬于任何一個象限。
3、點的坐標的概念
對于平面內任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對(a，b)叫做點P的坐標。
點的坐標用(a，b)表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有，分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當 時，(a，b)和(b，a)是兩個不同點的坐標。
平面內點的與有序實數對是一一對應的。
4、不同位置的點的坐標的特征
(1)、各象限內點的坐標的特征
點P(x,y)在第一象限：x0
點P(x,y)在第二象限：x0
點P(x,y)在第三象限：x0
點P(x,y)在第四象限：x0
(2)、坐標軸上的點的特征
點P(x,y)在x軸上,y=0 ，x為任意實數
點P(x,y)在y軸上,x=0 ，y為任意實數
點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上， x，y同時為零，即點P坐標為(0，0)即原點
(3)、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征
點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線(直線y=x)上，x與y相等
點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上，x與y互為相反數
(4)、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征
位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。
位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。
(5)、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征
點P與點p關于x軸對稱 橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即點P(x，y)關于x軸的對稱點為P(x，-y)
點P與點p關于y軸對稱 縱坐標相等，橫坐標互為相反數，即點P(x，y)關于y軸的對稱點為P(-x，y)
點P與點p關于原點對稱 橫、縱坐標均互為相反數，即點P(x，y)關于原點的對稱點為P(-x，-y)
(6)、點到坐標軸及原點的距離
點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：
(1)點P(x,y)到x軸的距離等于|y|;
(2)點P(x,y)到y軸的距離等于|x|;
(3)點P(x,y)到原點的距離等于根號x*x+y*y
三、坐標變化與圖形變化的規律：
坐標(x，y)的變化
圖形的變化
x a或y a
被橫向或縱向拉長(壓縮)為原來的a倍
x a，y a
放大(縮小)為原來的a倍
x (-1)或y (-1)
關于y軸或x軸對稱
x (-1)，y (-1)
關于原點成中心對稱
x +a或y+ a
沿x軸或y軸平移a個單位
x +a，y+ a
沿x軸平移a個單位，再沿y軸平移a個單
十二、實數
1、認識無理數
①有理數：總是可以用有限小數和無限循環小數表示
②無理數：無限不循環小數
2、平方根
①算數平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x就叫做a的算數平方根
②特別地，我們規定：0的算數平方根是0
③平方根：一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2=a。那么這個數x就叫做a的平方根，也叫做二次方根
④一個正數有兩個平方根；0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根
⑤正數有兩個平方根，一個是a的算數平方，另一個是—，它們互為相反數，這兩個平方根合起來可記作±
⑥開平方：求一個數a的平方根的運算叫做開平方，a叫做被開方數
3、立方根
①立方根：一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3=a，那么這個數x就叫做a的立方根，也叫三次方根
②每個數都有一個立方根，正數的立方根是正數；0立方根是0；負數的立方根是負數。
③開立方：求一個數a的立方根的運算叫做開立方，a叫做被開方數
4、估算
①估算，一般結果是相對復雜的小數，估算有精確位數
5、用計算機開平方
6、實數
①實數：有理數和無理數的統稱
②實數也可以分為正實數、0、負實數
③每一個實數都可以在數軸上表示，數軸上每一個點都對應一個實數，在數軸上，右邊的點永遠比左邊的點表示的數大
7、二次根式
①含義：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被開方數
② =（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）
③最簡二次根式：一般地，被開方數不含分母，也不含能開的盡方的因數或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式
④化簡時，通常要求最終結果中分母不含有根號，而且各個二次根式時最簡二次根式
十三、分式
（一）運用公式法：
我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。于是有：
a2—b2=（a+b）（a—b）
a2+2ab+b2=（a+b）2
a2—2ab+b2=（a—b）2
如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。
（二）平方差公式
1.平方差公式
（1）式子： a2—b2=（a+b）（a—b）
（2）語言：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。這個公式就是平方差公式。
（三）因式分解
1.因式分解時，各項如果有公因式應先提公因式，再進一步分解。
2.因式分解，必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止。
（四）完全平方公式
（1）把乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2 和 （a—b）2=a2—2ab+b2反過來，就可以得到：
a2+2ab+b2 =（a+b）2
a2—2ab+b2 =（a—b）2
這就是說，兩個數的平方和，加上（或者減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2—2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。
上面兩個公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特點
①項數：三項
②有兩項是兩個數的的平方和，這兩項的符號相同。
③有一項是這兩個數的積的兩倍。
（3）當多項式中有公因式時，應該先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示單項式，也可以表示多項式。這里只要將多項式看成一個整體就可以了。
（5）分解因式，必須分解到每一個多項式因式都不能再分解為止。
（五）分組分解法
我們看多項式am+ an+ bm+ bn，這四項中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我們把它分成兩組（am+ an）和（bm+ bn），這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式。
原式=（am +an）+（bm+ bn）
=a（m+ n）+b（m +n）
做到這一步不叫把多項式分解因式，因為它不符合因式分解的意義。但不難看出這兩項還有公因式（m+n），因此還能繼續分解，所以
原式=（am +an）+（bm+ bn）
=a（m+ n）+b（m+ n）
=（m +n）×（a +b）。
這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。從上面的例子可以看出，如果把一個多項式的項分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式。
（六）提公因式法
1.在運用提取公因式法把一個多項式因式分解時，首先觀察多項式的結構特點，確定多項式的公因式。當多項式各項的公因式是一個多項式時，可以用設輔助元的方法把它轉化為單項式，也可以把這個多項式因式看作一個整體，直接提取公因式；當多項式各項的公因式是隱含的時候，要把多項式進行適當的變形，或改變符號，直到可確定多項式的公因式。
2. 運用公式x2 +（p+q）x+pq=（x+q）（x+p）進行因式分解要注意：
1.必須先將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和等于一次項的系數。
2.將常數項分解成滿足要求的兩個因數積的多次嘗試，一般步驟：
① 列出常數項分解成兩個因數的積各種可能情況；
②嘗試其中的哪兩個因數的和恰好等于一次項系數。
3.將原多項式分解成（x+q）（x+p）的形式。
（七）分式的乘除法
1.把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
2.分式進行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式。
3.如果分式的分子或分母是多項式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式。如果分子或分母中的多項式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分。
4.分式約分中注意正確運用乘方的符號法則，如x—y=—（y—x），（x—y）2=（y—x）2，（x—y）3=—（y—x）3。
5.分式的分子或分母帶符號的n次方，可按分式符號法則，變成整個分式的符號，然后再按—1的偶次方為正、奇次方為負來處理。當然，簡單的分式之分子分母可直接乘方。
6.注意混合運算中應先算括號，再算乘方，然后乘除，最后算加減。
（八）分數的加減法
1.通分與約分雖都是針對分式而言，但卻是兩種相反的變形。約分是針對一個分式而言，而通分是針對多個分式而言；約分是把分式化簡，而通分是把分式化繁，從而把各分式的分母統一起來。
2.通分和約分都是依據分式的基本性質進行變形，其共同點是保持分式的值不變。
3.一般地，通分結果中，分母不展開而寫成連乘積的形式，分子則乘出來寫成多項式，為進一步運算作準備。
4.通分的依據：分式的基本性質。
5.通分的關鍵：確定幾個分式的公分母。
通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。
6.類比分數的通分得到分式的通分：
把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
7.同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。
同分母的分式加減運算，分母不變，把分子相加減，這就是把分式的運算轉化為整式運算。
8.異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減。
9.同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運算，但注意每個分子是個整體，要適時添上括號。
10.對于整式和分式之間的加減運算，則把整式看成一個整體，即看成是分母為1的分式，以便通分。
11.異分母分式的加減運算，首先觀察每個公式是否最簡分式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運算簡化。
12.作為最后結果，如果是分式則應該是最簡分式。
（九）含有字母系數的一元一次方程
1.含有字母系數的一元一次方程
引例：一數的a倍（a≠0）等于b，求這個數。用x表示這個數，根據題意，可得方程 ax=b（a≠0）
在這個方程中，x是未知數，a和b是用字母表示的已知數。對x來說，字母a是x的系數，b是常數項。這個方程就是一個含有字母系數的一元一次方程。
含有字母系數的方程的解法與以前學過的只含有數字系數的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零
十四、全等三角形
一、全等三角形
1.定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形狀與大小完全相等，與位置無關；
②一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全
等形；③三角形全等不因位置發生變化而改變。
2、全等三角形有哪些性質
（1）全等三角形的對應邊相等、對應角相等。
理解：
①長邊對長邊，短邊對短邊；最大角對最大角，最小角對最小角；
②對應角的對邊為對應邊，對應邊對
的角為對應角。
（2）全等三角形的周長相等、面積相等。
（3）全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。
3、全等三角形的判定
邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“SSS”)
邊角邊:兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全等（可簡寫成“SAS”)角邊角:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“ASA”)角角邊:兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“AAS”)
1、性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
2、判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
注意：三角形的三條角平分線交于一點，這個點到三角形三邊的距離相等。
三、學習全等三角形應注意以下幾個問題：
（1)要正確區分“對應邊”與“對邊”，“對應角”與“對角”的不同含義；
（2表示兩個三角形全等時，表示對應頂點的字母要寫在對應的位置上；
（3）“有三個角對應相等”或“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”的兩個三角形不一定全等；
（4）時刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角” 、“公共邊”、“對頂角”
（5）截長補短法證三角形全等。
十五、零指數冪與負整指數冪
重點：冪的性質(指數為全體整數)并會用于計算以及用科學記數法表示一些絕對值較小的數
難點：理解和應用整數指數冪的性質。
一、復習練習：
1、;=;=，=，=。
2、不用計算器計算：÷(—2)2—2-1+
二、指數的范圍擴大到了全體整數.
1、探索
現在，我們已經引進了零指數冪和負整數冪，指數的范圍已經擴大到了全體整數.那么，在“冪的運算”中所學的冪的性質是否還成立呢?與同學們討論并交流一下，判斷下列式子是否成立.
(1);(2)(ab)-3=a-3b-3;(3)(a-3)2=a(-3)×2
2、概括：指數的范圍已經擴大到了全體整數后，冪的運算法則仍然成立。
3、例1計算(2mn2)-3(mn-2)-5并且把結果化為只含有正整數指數冪的形式。
解：原式=2-3m-3n-6×m-5n10=m-8n4=
4練習：計算下列各式，并且把結果化為只含有正整數指數冪的形式：
(1)(a-3)2(ab2)-3;(2)(2mn2)-2(m-2n-1)-3.
三、科學記數法
1、回憶：在之前的學習中，我們曾用科學記數法表示一些絕對值較大的數，即利用10的正整數次冪，把一個絕對值大于10的數表示成a×10n的形式，其中n是正整數，1≤∣a∣<10.例如，864000可以寫成8.64×105.
2、類似地，我們可以利用10的負整數次冪，用科學記數法表示一些絕對值較小的數，即將它們表示成a×10-n的形式，其中n是正整數，1≤∣a∣<10.
3、探索：
10-1=0.1
10-2=
10-3=
10-4=
10-5=
歸納：10-n=
例如，上面例2(2)中的0.000021可以表示成2.1×10-5.
4、例2、一個納米粒子的直徑是35納米，它等于多少米?請用科學記數法表示.
分析我們知道：1納米=米.由=10-9可知，1納米=10-9米.
所以35納米=35×10-9米.
而35×10-9=(3.5×10)×10-9
=35×101+(-9)=3.5×10-8，
所以這個納米粒子的直徑為3.5×10-8米.
5、練習
①用科學記數法表示：
(1)0.00003;
(2)-0.0000064;
(3)0.0000314;
(4)000.
②用科學記數法填空：
(1)1秒是1微秒的1000000倍，則1微秒=_________秒;
(2)1毫克=_________千克;
(3)1微米=_________米;(4)1納米=_________微米;
(4)1平方厘米=_________平方米;(6)1毫升=_________立方米.
十六、一元一次不等式和一元一次不等式組
一、不等關系
1、一般地,用符號“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式.
2、要區別方程與不等式:方程表示的是相等的關系;不等式表示的是不相等的關系.
3、準確“翻譯”不等式,正確理解“非負數”、“不小于”等數學術語.
非負數<===>大于等于0(≥0)<===>0和正數<===>不小于0
非正數<===>小于等于0(≤0)<===>0和負數<===>不大于0
二、不等式的基本性質
1、掌握不等式的基本性質,并會靈活運用:
(1)不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變,即:
如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.
(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數,不等號的方向不變,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.
(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數,不等號的方向改變,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac
2、比較大小:(a、b分別表示兩個實數或整式)
一般地:
如果a>b,那么a-b是正數;反過來,如果a-b是正數,那么a>b;
如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;
如果a
即:
a>b<===>a-b>0
a=b<===>a-b=0
aa-b<0
(由此可見,要比較兩個實數的大小,只要考察它們的差就可以了.
拓展閱讀：初中數學提高解題速度的方法
認真仔細審題
對于一道具體的習題，解題時最重要的環節是審題。審題的第一步是讀題，這是獲取信息量和思考的過程。讀題要慢，一邊讀，一邊想，應特別注意每一句話的內在涵義，并從中找出隱含條件。
有些學生沒有養成讀題、思考的習慣，心里著急，匆匆一看，就開始解題，結果常常是漏掉了一些信息，花了很長時間解不出來，還找不到原因，想快卻慢了。所以，在實際解題時，應特別注意，審題要認真、仔細。
做好歸納總結
在解過一定數量的習題之后，對所涉及到的知識、解題方法進行歸納總結，以便使解題思路更為清晰，就能達到舉一反三的效果，對于類似的習題一目了然，可以節約大量的解題時間。
熟悉習題內容
解題、做練習只是學習過程中的一個環節，而不是學習的全部，你不能為解題而解題。解題時，我們的概念越清晰，對公式、定理和規則越熟悉，解題速度就越快。
因此，我們在解題之前，應通過閱讀教科書和做簡單的練習，先熟悉、記憶和辨別這些基本內容，正確理解其涵義的本質，接著馬上就做后面所配的練習，一刻也不要停留。
學會主動畫圖
畫圖是一個翻譯的過程，把解題時的抽象思維，變成了形象思維，從而降低了解題難度。有些題目，只要分析圖一畫出來，其中的關系就變得一目了然。尤其是對于幾何題，包括解析幾何題，若不會畫圖，有時簡直是無從下手。
因此，牢記各種題型的基本作圖方法，牢記各種函數的圖像和意義及演變過程和條件，對于提高解題速度非常重要。
逐步增加難度
人們認識事物的過程都是從簡單到復雜。簡單的問題解多了，從而使概念清晰了，對公式、定理以及解題步驟熟悉了，解題時就會形成跳躍性思維，解題的速度就會大大提高。
我們在學習時，應根據自己的能力，先去解那些看似簡單，卻很重要的習題，以不斷提高解題速度和解題能力。隨著速度和能力的提高，再逐漸增加難度，就會達到事半功倍的效果。
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