高一數學知識點總結

時間：2024-06-10 18:07:40 知識點總結我要投稿

(通用)高一數學知識點總結15篇

　　總結是指對某一階段的工作、學習或思想中的經驗或情況加以總結和概括的書面材料，它可使零星的、膚淺的、表面的感性認知上升到全面的、系統的、本質的理性認識上來，不如靜下心來好好寫寫總結吧。但是卻發現不知道該寫些什么，以下是小編收集整理的高一數學知識點總結，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

(通用)高一數學知識點總結15篇

高一數學知識點總結1

　　函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域。（2）。應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。

　　函數圖象知識歸納：

　　（1）定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f（x），（x∈A）中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P（x，y）的集合C，叫做函數y=f（x），（x∈A）的圖象。

　　C上每一點的坐標（x，y）均滿足函數關系y=f（x），反過來，以滿足y=f（x）的每一組有序實數對x、y為坐標的點（x，y），均在C上。即記為C={P（x，y）|y=f（x），x∈A}

　　圖象C一般的是一條光滑的連續曲線（或直線），也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

　　（2）畫法

　　A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x，y的一些對應值并列表，以（x，y）為坐標在坐標系內描出相應的點P（x，y），最后用平滑的曲線將這些點連接起來。

　　B、圖象變換法（請參考必修4三角函數）

　　常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

　　（3）作用：

　　1、直觀的看出函數的性質；

　　2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

　　3、發現解題中的錯誤。

　　2、快去了解區間的概念

　　（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；

　　（2）無窮區間；

　　（3）區間的數軸表示。

　　什么叫做映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

　　給定一個集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B。且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應：

　　①集合A、B及對應法則f是確定的；

　　②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；

　　③對于映射f：A→B來說，則應滿足：

　　（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

　　（Ⅱ）集合A中不同的.元素，在集合B中對應的象可以是同一個；

　　（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　常用的函數表示法及各自的優點：

　　函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；2解析法：必須注明函數的定義域；3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征。

　　注意啊：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值

　　補充一：分段函數（參見課本P24—25）

　　在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況。

　　（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；

　　（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。

　　補充二：復合函數

　　如果y=f（u），（u∈M），u=g（x），（x∈A），則y=f[g（x）]=F（x），（x∈A）稱為f、g的復合函數。

　　例如：y=2sinXy=2cos（X2+1）

　　函數單調性

　　（1）增函數

　　設函數y=f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1

　　注意：

　　1、函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；

　　2、必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1

　　（2）圖象的特點

　　如果函數y=f（x）在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f（x）在這一區間上具有（嚴格的）單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的

　　（3）。函數單調區間與單調性的判定方法

　　（A）定義法：

　　任取x1，x2∈D，且x1

　　（B）圖象法（從圖象上看升降）

　　（C）復合函數的單調性

　　復合函數f[g（x）]的單調性與構成它的函數u=g（x），y=f（u）的單調性密切相關，其規律如下：

　　函數

　　單調性

　　u=g（x）

　　增

　　減

　　y=f（u）

　　增

　　減

　　增

　　減

　　y=f[g（x）]

　　增

　　減

　　增

　　注意：

　　1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集。

　　2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎？

　　函數的奇偶性

　　（1）偶函數

　　一般地，對于函數f（x）的定義域內的任意一個x，都有f（—x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函數。

　　（2）奇函數

　　一般地，對于函數f（x）的定義域內的任意一個x，都有f（—x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函數。

　　注意：

　　1、函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；函數可能沒有奇偶性，也可能既是奇函數又是偶函數。

　　2、由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則—x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。

　　（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征

　　偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱。

　　總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：

　　1、首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；

　　2、確定f（—x）與f（x）的關系；

　　3、作出相應結論：若f（—x）=f（x）或f（—x）—f（x）=0，則f（x）是偶函數；若f（—x）=—f（x）或f（—x）+f（x）=0，則f（x）是奇函數。

高一數學知識點總結2

　　高一數學必修一知識點

　　指數函數

　　(一)指數與指數冪的運算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_.

　　當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開方數(radicand).

　　當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。

　　注意：當是奇數時，當是偶數時，

　　2.分數指數冪

　　正數的分數指數冪的意義，規定：

　　0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

　　指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.

　　3.實數指數冪的運算性質

　　(二)指數函數及其性質

　　1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.

　　注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

　　2、指數函數的圖象和性質

　　高一上冊數學必修一知識點梳理

　　空間幾何體表面積體積公式：

　　1、圓柱體:表面積:2πRr+2πRh體積:πR2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)

　　2、圓錐體:表面積:πR2+πR[(h2+R2)的]體積:πR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高,

　　3、a-邊長,S=6a2,V=a3

　　4、長方體a-長,b-寬,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc

　　5、棱柱S-h-高V=Sh

　　6、棱錐S-h-高V=Sh/3

　　7、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3

　　8、S1-上底面積,S2-下底面積,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6

　　9、圓柱r-底半徑,h-高,C—底面周長S底—底面積,S側—,S表—表面積C=2πrS底=πr2,S側=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h

　　10、空心圓柱R-外圓半徑,r-內圓半徑h-高V=πh(R^2-r^2)

　　11、r-底半徑h-高V=πr^2h/3

　　12、r-上底半徑,R-下底半徑,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半徑d-直徑V=4/3πr^3=πd^3/6

　　14、球缺h-球缺高,r-球半徑,a-球缺底半徑V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3

　　15、球臺r1和r2-球臺上、下底半徑h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6

　　16、圓環體R-環體半徑D-環體直徑r-環體截面半徑d-環體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4

　　17、桶狀體D-桶腹直徑d-桶底直徑h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母線是拋物線形)

　　人教版高一數學必修一知識點梳理

　　1、柱、錐、臺、球的結構特征

　　(1)棱柱：

　　定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

　　分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱。

　　幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

　　(2)棱錐

　　定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體。

　　分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

　　表示：用各頂點字母，如五棱錐

　　幾何特征：側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的.比的平方。

　　(3)棱臺：

　　定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

　　分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等

　　表示：用各頂點字母，如五棱臺

　　幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

　　(4)圓柱：

　　定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體。

　　幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。

　　(5)圓錐：

　　定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體。

　　幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。

　　(6)圓臺：

　　定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

　　幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。

　　(7)球體：

　　定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

　　幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

　　2、空間幾何體的三視圖

　　定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

　　注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度;

　　俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;

　　側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

　　3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

　　斜二測畫法特點：

　　①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;

　　②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

高一數學知識點總結3

　　歸納1

　　1、“包含”關系—子集

　　注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

　　反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

　　2、“相等”關系（5≥5，且5≤5，則5=5）

　　實例：設A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同”

　　結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

　　①任何一個集合是它本身的子集。AíA

　　②真子集：如果AíB，且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）

　　③如果AíB，BíC，那么AíC

　　④如果AíB同時BíA那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　歸納2

　　形如y=k/x（k為常數且k≠0）的函數，叫做反比例函數。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

　　反比例函數圖像性質：

　　反比例函數的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數屬于奇函數，有f（—x）=—f（x），圖像關于原點對稱。

　　另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　上面給出了k分別為正和負（2和—2）時的函數圖像。

　　當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

　　當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

　　反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

　　知識點：

　　1、過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

　　2、對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數（即y=k/（x±m）m為常數），就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）

　　歸納3

　　方程的根與函數的零點

　　1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

　　2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點。

　　3、函數零點的求法：

　　（1）（代數法）求方程的實數根；

　　（2）（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點。

　　4、二次函數的零點：

　　（1）△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點。

　　（2）△=0，方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點。

　　（3）△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點。

　　歸納3

　　形如y=k/x（k為常數且k≠0）的函數，叫做反比例函數。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

　　反比例函數圖像性質：

　　反比例函數的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數屬于奇函數，有f（—x）=—f（x），圖像關于原點對稱。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負（2和—2）時的函數圖像。

　　當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

　　當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

　　反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

　　知識點：

　　1、過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

　　歸納4

　　冪函數的性質：

　　對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^（p/q）=q次根號（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞）。當指數n是負整數時，設a=—k，則x=1/（x^k），顯然x≠0，函數的定義域是（—∞，0）∪（0，+∞）、因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的'根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數；

　　排除了為0這種可能，即對于x<0x="">0的所有實數，q不能是偶數；

　　排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數，a就不能是負數。

　　總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數；

　　如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。

　　在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

　　而只有a為正數，0才進入函數的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況、

　　可以看到：

　　（1）所有的圖形都通過（1，1）這點。

　　（2）當a大于0時，冪函數為單調遞增的，而a小于0時，冪函數為單調遞減函數。

　　（3）當a大于1時，冪函數圖形下凹；當a小于1大于0時，冪函數圖形上凸。

　　（4）當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

　　（5）a大于0，函數過（0，0）；a小于0，函數不過（0，0）點。

　　（6）顯然冪函數無界。

　　解題方法：換元法

　　解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這種方法叫換元法，換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

　　換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。

　　它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

高一數學知識點總結4

　　1.二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

　　解析式

　　頂點坐標

　　對稱軸

　　y=ax^2

　　(0，0)

　　x=0

　　y=a(x-h)^2

　　(h，0)

　　x=h

　　y=a(x-h)^2+k

　　(h，k)

　　x=h

　　y=ax^2+bx+c

　　(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

　　x=-b/2a

　　當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

　　當h>0，k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

　　當h>0，k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

　　當h<0，k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

　　當h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

　　因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

　　2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

　　3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小.

　　4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);

　　(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|

　　當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

　　當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的.下方，x為任何實數時，都有y<0.

　　5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

　　頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.

　　6.用待定系數法求二次函數的解析式

　　(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a≠0).

　　(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

　　(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

　　7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.

高一數學知識點總結5

　　第一章．集合與函數的概念

　　一、集合的概念與運算：

　　1、集合的特性與表示法：集合中的元素應具有：確定性互異性無序性；集合的表示法有：

　　列舉法描述法文氏圖等。2、集合的分類：①有限集、無限集、空集。

　　②數集：yyx2點集：x,yxy1

　　23、子集與真子集：若xA則xBAB若AB但ABAB

　　若Aa1，a2，a3,an，則它的子集個數為2n個4、集合的運算：①ABxxA且xB，若ABA則AB②ABxxA或xB，若ABA則BA③CUAxxU但xA

　　5、映射：對于集合A中的任一元素a,按照某個對應法則f,集合B中都有唯一的元素b與

　　之對應，則稱f:AB為A到的映射,其中a叫做b的原象，b叫a的象。二、函數的概念及函數的性質：

　　1、函數的概念：對于非空的數集A與B，我們稱映射f:AB為函數，記作yfx，

　　其中xA,yB,集合A即是函數的定義域，值域是B的子集。定義域、值域、對應法則稱為函數的三要素。2、函數的性質：

　　⑴定義域：10簡單函數的定義域：使函數有意義的x的取值范圍，例：ylg(3x)2x5的

　　2x505x3定義域為：3x0220復合函數的定義域：若yfx的定義域為xa,b，則復合函數yfgx的定義域為不等式agxb的解集。3實際問題的定義域要根據實際問題的實際意義來確定定義域。⑵值域：10利用函數的單調性：yxpx(po)y2x2ax3x2,3

　　0202利用換元法：y2x13xy3x1x珠暉區青少年活動中心中學部（博學教育培訓中心）

　　30數形結合法yx2x5

　　⑶單調性：10明確基本初等函數的單調性：yaxbyax2bxcyyaxkx（k0）

　　a0且a1ylogaxa0且a1yxnnR

　　20定義：對x1D,x2D且x1x2

　　若滿足fx1fx2，則fx在D上單調遞增若滿足fx1fx2，則fx在D上單調遞減。

　　⑷奇偶性：10定義：fx的定義域關于原點對稱，若滿足fx＝－fx——奇函數若滿足fx＝fx——偶函數。20特點:奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱。若fx為奇函數且定義域包括0，則f00若fx為偶函數，則有fxf（5）對稱性：10yax2bxc的圖像關于直線xx

　　b2a對稱；

　　20若fx滿足faxfaxfxf2ax，則fx的圖像

　　關于直線xa對稱。

　　30函數yfxa的圖像關于直線xa對稱。

　　第二章、基本初等函數

　　一、指數及指數函數：

　　1、指數：amanamnam/an＝amnamamnmn

　　naman0a1a0

　　2、指數函數：①定義：ya(a0,a1)

　　②圖象和性質：a＞1時，xR,y(0,)，在R上遞增，過定點（0，1）0＜a＜1時，xR,y(0,)，在R上遞減，過定點（0，1）例如：y3x2x3的圖像過定點（2，4）珠暉區青少年活動中心中學部（博學教育培訓中心）

　　二、對數及對數函數：

　　1、對數及運算：abNlogaNblog1alogmnaloagmlaonglogamnloamg0,alaogaloagNNlomgalanoglogmnanlogablogcalogcblogb＞0（0＜a，b＜1或a,b＞1alogb＜0(0＜a＜1,b＞1,或a＞1，0＜b＜1a2、對數函數：

　　①定義：ylogaxa0且a1與yax(a0,a1)互為反函數。

　　②圖像和性質：10a＞1時，x0,，yR，在0,遞增，過定點（1，0）200＜a＜1時，x0,，yR，在0,遞減，過定點（1，0）。三、冪函數：①定義：yxnnR

　　②圖像和性質：10n＞0時，過定點（0，0）和（1，1）,在x0,上單調遞增。20n＜0時，過定點（1，1）,在x0,上單調遞減。

　　第三章、函數的應用

　　一、函數的零點及性質：

　　1、定義：對于函數yfx，若x0使得fx00，則稱x0為yfx的零點。2、性質：10若fafb＜0，則函數yfx在a,b上至少存在一個零點。20函數yfx在a,b上存在零點，不一定有fafb＜03在相鄰兩個零點之間所有的函數值保持同號。二、二分法求方程fx0的近似解

　　1、原理與步驟：①確定一閉區間a,b，使fafb＜0，給定精確度；

　　珠暉區青少年活動中心中學部（博學教育培訓中心）

　　②令x1ab2，并計算fx1；

　　③若fx1=0則x1為函數的零點，若fafx1＜0，則x0a,x1，令b=x1;若fx1fb＜0則x0x1,b，令a=x1

　　④直到ab＜時，我們把a或b稱為fx0的近似解。

　　三、函數模型及應用：

　　常見的'函數模型有：①直線上升型：ykxb;②對數增長型：ylogax③指數爆炸型：yn(1p)x，n為基礎數值，p為增長率。

　　訓練題

　　一、選擇題

　　1．已知全集U1，2，3，4，A＝1，2，B＝2，3，則A(CuB)等于()A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{1)D．{4}

　　2.已知函數f(x)ax在(O，2)內的值域是(a2,1)，則函數yf(x)的圖象是()

　　3.下列函數中，有相同圖象的一組是（）Ay=x－1,y=

　　(x1)2By=x1x1,y=

　　x12

　　Cy=lgx－2,y=lg

　　x100Dy=4lgx,y=2lgx2

　　4.已知奇函數f(x)在[a,b]上減函數，偶函數g(x)在[a,b]上是增函數，則在[-b,-a]（b>a>0）上，f(x)與g(x)分別是（A．f(x)和g(x)都是增函數

　　）

　　B．f(x)和g(x)都是減函數

　　D．f(x)是減函數，g(x)是增函數。

　　C．f(x)是增函數，g(x)是減函數5.方程lnx=A．（1，2）

　　2x必有一個根所在的區間是（）B．(2，3)

　　C．(e，3)

　　D．(e,+∞)

　　6.下列關系式中，成立的是（）A．log34>()>log110

　　5310B．log110>()>log34

　　31珠暉區青少年活動中心中學部（博學教育培訓中心）

　　C．log34>log110>()

　　3150D．log110>log34>()

　　31507．已知函數f(x)的定義域為R,f(x)在R上是減函數，若f(x)的一個零點為1，則不等式

　　f(2x1)0的解集為()

　　A．(,)B．(,)C．(1,)D．(,1)

　　22118.設f(log2x)=2x(x>0)則f(3)的值為（A．128

　　B．256

　　C．512

　　）

　　D．8

　　9.已知a>0,a≠1則在同一直角坐標系中，函數y=a-x和y=loga(-x)的圖象可能是（）

　　333222111-224-2-124-2-124-2-124A

　　10.若loga23-2B

　　-2C

　　-2D

　　珠暉區青少年活動中心中學部（博學教育培訓中心）

　　三、解答題：（本題共6小題，滿分74分）

　　16.計算求值：(lg8+lg1000)lg5+3(lg2)2+lg6-1+lg0.006

　　17.已知f(x)=x2-2(1-a)x+2在區間(-∞，4]上是減函數，求實數a的取值范圍。

　　18.已知函數f(x)3x,f(a2)18,g(x)3ax4x定義域[0,1]；（1）求a的值；

　　（2）若函數g(x)在[0,1]上是單調遞減函數，求實數的取值范圍；

　　19.已知函數f(x-3)=lga2x226-x（a>1,且a≠1）

　　1)求函數f(x)的解析式及其定義域2)判斷函數f(x)的奇偶性

高一數學知識點總結6

　　⑴公差為d的等差數列,各項同加一數所得數列仍是等差數列,其公差仍為d.

　　⑵公差為d的等差數列,各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列,其公差為kd.

　　⑶若{a}、{b}為等差數列,則{a±b}與{ka+b}(k、b為非零常數)也是等差數列.

　　⑷對任何m、n,在等差數列{a}中有：a=a+(n-m)d,特別地,當m=1時,便得等差數列的通項公式,此式較等差數列的通項公式更具有一般性.

　　⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且l+k+p+…=m+n+r+…(兩邊的自然數個數相等),那么當{a}為等差數列時,有：a+a+a+…=a+a+a+….

　　⑹公差為d的等差數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等差數列,其公差為kd(k為取出項數之差).

　　⑺如果{a}是等差數列,公差為d,那么,a,a,…,a、a也是等差數列,其公差為-d;在等差數列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)

　　⑻在等差數列中,從第一項起,每一項(有窮數列末項除外)都是它前后兩項的等差中項.

　　⑼當公差d>0時,等差數列中的數隨項數的增大而增大;當d

　　⑽設a,a,a為等差數列中的三項,且a與a,a與a的項距差之比=(≠-1),則a=.

　　⑴數列{a}為等差數列的充要條件是：數列{a}的`前n項和S可以寫成S=an+bn的形式(其中a、b為常數).

　　⑵在等差數列{a}中,當項數為2n(nN)時,S-S=nd,=;當項數為(2n-1)(n)時,S-S=a,=.

　　⑶若數列{a}為等差數列,則S,S-S,S-S,…仍然成等差數列,公差為.

　　⑷若兩個等差數列{a}、{b}的前n項和分別是S、T(n為奇數),則=.

　　⑸在等差數列{a}中,S=a,S=b(n>m),則S=(a-b).

　　⑹等差數列{a}中,是n的一次函數,且點(n,)均在直線y=x+(a-)上.

　　⑺記等差數列{a}的前n項和為S.①若a>0,公差d0,則當a≤0且a≥0時,S小.

高一數學知識點總結7

　　指數函數——信息技術應用借助信息技術探究指數函數的性質

　　對數函數——閱讀與思考對數的發明

　　探究與發現互為反函數的兩個函數圖像之間的關系

　　冪函數

　　復習參考題

　　第三章函數的應用

　　函數與方程——閱讀與思考中外歷史上的方程求解

　　信息技術應用借助信息技術求方程的近似解

　　函數模型及其應用——信息技術應用收集數據并建立函數模型

　　實習作業

　　復習參考題

　　關于數學：

　　課本上講的定理，你可以自己試著自己去推理。這樣不但提高自己的證明能力，也加深對公式的理解。還有就是大量練習題目。基本上每課之后都要做課余練習的題目(不包括老師的作業)。

　　數學成績的提高，數學方法的掌握都和同學們良好的學習習慣分不開的，因此。良好的數學學習習慣包括：聽講、閱讀、探究、作業。聽講：應抓住聽課中的主要矛盾和問題，在聽講時盡可能與老師的講解同步思考，必要時做好筆記。每堂課結束以后應深思一下進行歸納，做到一課一得。

　　閱讀：閱讀時應仔細推敲，弄懂弄通每一個概念、定理和法則，對于例題應與同類參考書聯系起來一同學習，博采眾長，增長知識，發展思維。

　　探究：要學會思考，在問題解決之后再探求一些新的方法，學會從不同角度去思考問題，甚至改變條件或結論去發現新問題，經過一段學習，應當將自己的思路整理一下，以形成自己的思維規律。作業：要先復習后作業，先思考再動筆，做會一類題領會一大片，作業要認真、書寫要規范，只有這樣腳踏實地，一步一個腳印，才能學好數學。

　　總之，在學習數學的過程中，要認識到數學的重要性，充分發揮自己的主觀能動性，從小的細節注意起，養成良好的數學學習習慣，進而培養思考問題、分析問題和解決問題的能力，最終把數學學好。

　　到了高中，數學跟初中數學是有很多的不同，對知識的理解能力要求高了，對數學思維的要求也高了，憑以前的方法是不行了。

　　高中數學學習方法一般來講還是以上課認真聽講為主，抓住課本典型例題理解透了掌握透了才是王道，千萬別只顧著看參考書了，那是本末倒置的方法;另外與老師交朋友經常與老師溝通，問問題、請教學習方法都很重要。建立自己的錯題檔案是殺手锏的一招。

　　總之，是個積累的過程，你了解的越多，學習就越好，所以多記憶，選擇自己的方法。

　　有關數學知識點拓展數學(mathematics)，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。借用《數學簡史》的話，數學就是研究集合上各種結構(關系)的科學，可見，數學是一門抽象的學科，而嚴謹的過程是數學抽象的`關鍵。

　　數學在人類歷史發展和社會生活中發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。

　　數學起源于人類早期的生產活動，古巴比倫人從遠古時代開始已經積累了一定的數學知識，并能應用實際問題。從數學本身看，他們的數學知識也只是觀察和經驗所得，沒有綜合結論和證明，但也要充分肯定他們對數學所做出的貢獻。

　　基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。

　　從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅度的進展。但當時的代數學和幾何學長久以來仍處于獨立的狀態。代數學可以說是最為人們廣泛接受的“數學”。

　　可以說每一個人從小時候開始學數數起，最先接觸到的數學就是代數學。而數學作為一個研究“數”的學科，代數學也是數學最重要的組成部分之一。

　　幾何學則是最早開始被人們研究的數學分支。直到16世紀的文藝復興時期，笛卡爾創立了解析幾何，將當時完全分開的代數和幾何學聯系到了一起。從那以后，我們終于可以用計算證明幾何學的定理;同時也可以用圖形來形象的表示抽象的代數方程。而其后更發展出更加精微的微積分。

　　西方最原始math(數學)應用之一，奇普現時數學已包括多個分支。創立于二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派則認為:數學，至少純數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。他們認為，數學有三種基本的母結構:代數結構(群，環，域，格……)、序結構(偏序，全序 ……)、拓撲結構(鄰域，極限，連通性，維數……)。

　　數學被應用在很多不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。

　　數學在這些領域的應用一般被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，并促成全新數學學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然有許多工作以研究純數學為開端，但之后也許會發現合適的應用。

　　具體的，有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:由邏輯、集合論(數學基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、以較近代的對于不確定性的研究(混沌、模糊數學)。就縱度而言，在數學各自領域上的探索亦越發深入。

　　如何學好數學

　　1、重視課本知識

　　對于高一學生來說，大部分數學知識的來源都是課本，只有很少的一部分知識是課外拓展。所以高一學生想要學好數學，就要先把課本知識理解透徹。平時做題的時候，也要以課本為重，把課本上的練習做會了，再做其他題。

　　2、課前預習

　　對很多高一學生來說，還沒有養成良好的學習習慣，完全沒有課前預習的習慣。但是如果想要學好高一數學，一定要進行適當的預習，如果時間不多，可以瀏覽一下老師要講的主要內容，有一個大概的印象。這樣在上課的時候，可以更好的跟上老師的思路。

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　　3、記好筆記

　　對于高一學生來說，想要學好數學，記好課堂筆記也是一件很重要的事情。不要以為記筆記是文科生該做的事情，理科同樣需要。高一學生要清楚，在這45分鐘內，并不是所有的知識點都能掌握的，這個時候要把自己沒有理解的知識點記下來，然后課下再去鉆研。另外筆記也可以作為考試復習時的參考！

　　4、及時復習

　　想要學好高一數學，及時復習是其中重要的一環。高一學生可以通過反復閱讀教材和查找相關資料，來加深自己對基本概念和知識體系的理解和記憶，把自己學到的新知識和舊知識聯系起來，進行比較和分析。

高一數學知識點總結8

　　定義：

　　x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0度。

　　范圍：

　　傾斜角的取值范圍是0°≤α

　　理解：

　　(1)注意“兩個方向”：直線向上的方向、x軸的正方向;

　　(2)規定當直線和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0度。

　　意義：

　　①直線的傾斜角，體現了直線對x軸正向的傾斜程度;

　　②在平面直角坐標系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角;

　　③傾斜角相同，未必表示同一條直線。

　　公式：

　　k=tanα

　　k>0時α∈(0°，90°)

　　k=0時α=0°

　　當α=90°時k不存在

　　ax+by+c=0(a≠0)傾斜角為A，則tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)

　　當a≠0時，傾斜角為90度，即與X軸垂直

　　兩角和與差的三角函數：

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　三角和的三角函數：

　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

　　輔助角公式：

　　Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中

　　sint=B/(A2+B2)^(1/2)

　　cost=A/(A2+B2)^(1/2)

　　tant=B/A

　　Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

　　倍角公式：

　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

　　cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)

　　tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)]

　　三倍角公式：

　　sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)

　　cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)

　　tan(3α)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

　　半角公式：

　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

　　降冪公式

　　sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

　　cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

　　tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

　　萬能公式：

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]

　　cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]

　　積化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　和差化積公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　二面角

　　(1)半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

　　(2)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°]

　　(3)二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

　　(4)二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的'面。

　　(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

　　(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

高一數學知識點總結9

　　1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.

　　注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;3函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

　　定義域補充

　　能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數不小于零;(3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

　　構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

　　再注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)

　　值域補充

　　(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。

　　3.函數圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.

　　C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的`點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

　　圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

　　(2)畫法

　　A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

　　B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

　　常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

　　(3)作用：

　　1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

高一數學知識點總結10

　　第一章集合與函數概念

　　一、集合有關概念

　　1.集合的含義

　　2.集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性如：世界上最高的山

　　(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3.集合的表示：{}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作：N

　　正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

　　1）列舉法：{a,b,c}

　　2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合

　　的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

　　4、集合的分類：

　　(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

　　二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集

　　注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

　　實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作ABA)

　　③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算交集并集補集類型定由所有屬于A且屬義于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：ABB(或

　　設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）

　　作‘A交B’），即（讀作‘A并B’），記作CSA，即AB=｛x|xA，且即AB={x|xA，xB｝．或xB})．CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABＡ(CuA)(CuB)質ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

　　例題：

　　1.下列四組對象，能構成集合的是（）

　　A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數等于它自身的實數2.集合{a，b，c}的真子集共有個

　　3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是

　　4.設集合A=x1x2，B=xxa，若AB，則a的取值范圍是

　　5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有人，化學實驗做得正確得有31人，兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。

　　6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.

　　7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

　　二、函數的有關概念

　　1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：

　　1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

　　(1)分式的分母不等于零；

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零；

　　(3)對數式的真數必須大于零；

　　(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

　　(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，

　　(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)

　　2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法

　　(3)代換法

　　3.函數圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上

　　(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法

　　常用變換方法有三種

　　1)平移變換

　　2)伸縮變換

　　3)對稱變換

　　4．區間的概念

　　（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

　　（2）無窮區間

　　（3）區間的數軸表示

　　5．映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的`一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”

　　對于映射f：A→B來說，則應滿足：

　　(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數

　　(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況．

　　(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補充：復合函數

　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。

　　二．函數的性質

　　函數的單調性(局部性質)（1）增函數

　　設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調

　　減區間.

　　注意：函數的單調性是函數的局部性質；

　　（2）圖象的特點

　　如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的(3).函數單調區間與單調性的判定方法(A)定義法：

　　3利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：○

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

　　1.求下列函數的定義域：⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.設函數f(x)的定義域為[0，1]，則函數f(x2)的定義域為__

　　3.若函數f(x1)的定義域為[2，3]，則函數f(2x1)的定義域是4.函數

　　x2(x1)2，若f(x)3，則xf(x)x(1x2)2x(x2)2=

　　5.求下列函數的值域：

　　⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2]

　　(3)yx12x(4)y6.已知函數

　　f(x1)x4x，求函數

　　2x4x52f(x)，f(2x1)的解析式

　　7.已知函數f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。8.設f(x)是R上的奇函數，且當x[0,)時,

　　f(x)x(13x),則當x(,0)時

　　f(x)=

　　f(x)在R上的解析式為9.求下列函數的單調區間：⑴yx22x3⑵y2x2x3⑶yx6x1

　　210.判斷函數yx31的單調性并證明你的結論．

　　211.設函數f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證：f(1)f(x)．

　　21xx

高一數學知識點總結11

　　1、集合的概念

　　集合是集合論中的不定義的原始概念，教材中對集合的概念進行了描述性說明：“一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)”。理解這句話，應該把握4個關鍵詞：對象、確定的、不同的、整體。

　　對象――即集合中的元素。集合是由它的元素確定的。

　　整體――集合不是研究某一單一對象的，它關注的是這些對象的全體。

　　確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關系。

　　不同的――集合元素的互異性。

　　2、有限集、無限集、空集的意義

　　有限集和無限集是針對非空集合來說的。我們理解起來并不困難。

　　我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做Φ。理解它時不妨思考一下“0與Φ”及“Φ與{Φ}”的關系。

　　幾個常用數集N、N_N+、Z、Q、R要記牢。

　　3、集合的表示方法

　　(1)列舉法的表示形式比較容易掌握，并不是所有的集合都能用列舉法表示，同學們需要知道能用列舉法表示的三種集合：

　　①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

　　②元素較多但呈現一定的規律的有限集，如{1，2，3，…，100}

　　③呈現一定規律的無限集，如{1，2，3，…，n，…}

　　●注意a與{a}的區別

　　●注意用列舉法表示集合時，集合元素的“無序性”。

　　(2)特征性質描述法的關鍵是把所研究的`集合的“特征性質”找準，然后適當地表示出來就行了。但關鍵點也是難點。學習時多加練習就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}，{y|y=x2}，{(x，y)|y=x2}是三個不同的集合。

　　4、集合之間的關系

　　●注意區分“從屬”關系與“包含”關系

　　“從屬”關系是元素與集合之間的關系。

　　“包含”關系是集合與集合之間的關系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，學會正確使用“”等符號，會用Venn圖描述集合之間的關系是基本要求。

　　●注意辨清Φ與{Φ}兩種關系。

高一數學知識點總結12

　　【(一)、映射、函數、反函數】

　　1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.

　　2、對于函數的概念，應注意如下幾點：

　　(1)掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數.

　　(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式.

　　(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數，其中g(x)為內函數，f(u)為外函數.

　　3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：

　　(1)確定原函數的值域，也就是反函數的定義域;

　　(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

　　(3)將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f-1(x)，并注明定義域.

　　注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起.

　　②熟悉的應用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.

　　【(二)、函數的解析式與定義域】

　　1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：

　　(1)有時一個函數來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;

　　(2)已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

　　①分式的分母不得為零;

　　②偶次方根的被開方數不小于零;

　　③對數函數的真數必須大于零;

　　④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

　　⑤三角函數中的正切函數y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

　　應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

　　(3)已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.

　　已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.

　　2、求函數的解析式一般有四種情況

　　(1)根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.

　　(2)有時題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.

　　(3)若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當于求函數的定義域.

　　(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.

　　【(三)、函數的值域與最值】

　　1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

　　(1)直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.

　　(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.

　　(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可采用此法求得.

　　(4)配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.

　　(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

　　(6)判別式法：把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

　　(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可采用單調性法求出函數的值域.

　　(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.

　　2、求函數的最值與值域的區別和聯系

　　求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

　　如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.

　　3、函數的最值在實際問題中的應用

　　函數的.最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

　　【(四)、函數的奇偶性】

　　1、函數的奇偶性的定義：對于函數f(x)，如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).

　　正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).

　　2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：

　　注意如下結論的運用：

　　(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;

　　(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)·g(x)是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;

　　(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。

　　3、有關奇偶性的幾個性質及結論

　　(1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱.

　　(2)如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數.

　　(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.

　　(4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區間上的單調性是相同(反)的。

　　(5)若f(x)的定義域關于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.

　　(6)奇偶性的推廣

　　函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數。

　　【(五)、函數的單調性】

　　1、單調函數

　　對于函數f(x)定義在某區間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調遞增(或遞減);增函數或減函數統稱為單調函數.

　　對于函數單調性的定義的理解，要注意以下三點：

　　(1)單調性是與“區間”緊密相關的概念.一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性.

　　(2)單調性是函數在某一區間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

　　(3)單調區間是定義域的子集，討論單調性必須在定義域范圍內.

　　(4)注意定義的兩種等價形式：

　　設x1、x2∈[a，b]，那么：

　　①在[a、b]上是增函數;

　　在[a、b]上是減函數.

　　②在[a、b]上是增函數.

　　在[a、b]上是減函數.

　　需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.

　　(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數，且(或x1>x2)，這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數值之間的不等關系可以“正逆互推”.

　　5、復合函數y=f[g(x)]的單調性

　　若u=g(x)在區間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調性相同，則復合函數y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增;否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.

　　在研究函數的單調性時，常需要先將函數化簡，轉化為討論一些熟知函數的單調性。因此，掌握并熟記一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的單調性，將大大縮短我們的判斷過程.

　　6、證明函數的單調性的方法

　　(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據定義，得出結論.

　　(2)設函數y=f(x)在某區間內可導.

　　如果f′(x)>0，則f(x)為增函數;如果f′(x)<0，則f(x)為減函數.

　　【(六)、函數的圖象】

　　函數的圖象是函數的直觀體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養，培養用數形結合的思想方法解決問題的意識.

　　求作圖象的函數表達式

　　與f(x)的關系

　　由f(x)的圖象需經過的變換

　　y=f(x)±b(b>0)

　　沿y軸向平移b個單位

　　y=f(x±a)(a>0)

　　沿x軸向平移a個單位

　　y=-f(x)

　　作關于x軸的對稱圖形

　　y=f(|x|)

　　右不動、左右關于y軸對稱

　　y=|f(x)|

　　上不動、下沿x軸翻折

　　y=f-1(x)

　　作關于直線y=x的對稱圖形

　　y=f(ax)(a>0)

　　橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變

　　y=af(x)

　　縱坐標伸長到原來的|a|倍，橫坐標不變

　　y=f(-x)

　　作關于y軸對稱的圖形

　　【例】定義在實數集上的函數f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

　　①求證：f(0)=1;

　　②求證：y=f(x)是偶函數;

　　③若存在常數c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數f(x)是不是周期函數，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請說明理由.

　　思路分析：我們把沒有給出解析式的函數稱之為抽象函數，解決這類問題一般采用賦值法.

　　解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.

　　②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數.

　　③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=

　　所以，所以f(x+c)=-f(x).

　　兩邊應用中的結論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

　　所以f(x)是周期函數，2c就是它的一個周期.

高一數學知識點總結13

　　第一章：解三角形

　　1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有asinbsina2RcsinC2R．

　　2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理的變形經常用在有三角函數的等式中）③a:b:csin:sin:sinC；④abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin．222abc．

　　3、三角形面積公式：SC

　　4、余定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，cab2abcosC．222

　　5、余弦定理的推論：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

　　6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若a2b2c2，則C90為直角三角形；②若a2b2c2，則C90為銳角三角形；③若a2b2c2，則C90為鈍角三角形．

　　第二章：數列

　　1、數列：按照一定順序排列著的一列數．

　　2、數列的項：數列中的每一個數．

　　3、有窮數列：項數有限的數列．

　　4、無窮數列：項數無限的數列．

　　5、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列．

　　6、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列．

　　7、常數列：各項相等的數列．

　　8、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列．

　　9、數列的通項公式：表示數列an的第n項與序號n之間的關系的公式．

　　10、數列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系的公式．

　　11、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．

　　12、由三個數a，，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為a與b的等差中項．若bac2，則稱b為a與c的等差中項．

　　13、若等差數列an的首項是a1，公差是d，則ana1n1d．通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③d⑤danamnmana1n1；④nana1d1；

　　14、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等差數列，且2npq（n、p、q），則2anapaq；下角標成等差數列的項仍是等差數列；連續m項和構成的數列成等差數列。

　　15、等差數列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．

　　16、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1．②若項數為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇S偶nn1（其中S奇nan，S偶n1an）．

　　17、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的`比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．

　　18、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若G2ab，則稱G為a與b的等比中項．

　　19、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1q．

　　20、通項公式的變形：①anamq；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

　　21、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比數列，且2npq（n、p、q），則anapaq；下角標成等差數列的項仍是等比數列；連續m2項和構成的數列成等比數列。

　　22、等比數列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．1nq11q1qq1時，Sna11qa11qq，即常數項與q項系數互為相反數。

　　23、等比數列的前n項和的性質：①若項數為2nn，則SS偶奇q．n②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列．

　　24、an與Sn的關系：anSnSn1S1n2n1

　　一些方法：

　　一、求通項公式的方法：

　　1、由數列的前幾項求通項公式：待定系數法

　　①若相鄰兩項相減后為同一個常數設為anknb，列兩個方程求解；

　　②若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數設為anan2bnc，列三個方程求解；③若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數設為anaq

　　2、由遞推公式求通項公式：

　　①若化簡后為an1and形式，可用等差數列的通項公式代入求解；②若化簡后為an1anf(n),形式，可用疊加法求解；

　　③若化簡后為an1anq形式，可用等比數列的通項公式代入求解；

　　④若化簡后為an1kanb形式，則可化為(an1x)k(anx)，從而新數列{anx}是等比數列，用等比數列求解{anx}的通項公式，再反過來求原來那個。（其中x是用待定系數法來求得）3、由求和公式求通項公式：

　　①a1S1②anSnSn1③檢驗a1是否滿足an，若滿足則為an，不滿足用分段函數寫。

　　4、其他

　　（1）anan1fn形式，fn便于求和，方法：迭加；

　　例如：anan1n1有：anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb，q為相除后的常數，列兩個方程求解；

　　n4n1（2）anan12anan1形式，同除以anan1，構造倒數為等差數列；

　　anan1anan121an1例如：anan12anan1，則1，即為以-2為公差的等差數列。anan1（3）anqan1m形式，q1，方法：構造：anxqan1x為等比數列；

　　例如：an2an12，通過待定系數法求得：an22an12，即an2等比，公比為2。（4）anqan1pnr形式：構造：anxnyqan1xn1y為等比數列；（5）anqan1p形式，同除p，轉化為上面的幾種情況進行構造；因為anqan1pn，則anpnqan1ppn11，若qp1轉化為（1）的方法，若不為1，轉化為（3）的方法

　　二、等差數列的求和最值問題：（二次函數的配方法；通項公式求臨界項法）

　　①若②若ak0，則Sn有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1a10a10ak0，則Sn有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1

　　三、數列求和的方法：

　　①疊加法：倒序相加，具備等差數列的相關特點的，倒序之后和為定值；

　　②錯位相減法：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式，如：an2n13；n③分式時拆項累加相約法：適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式。如：an1nn11n1n1，an12n12n1111等；22n12n1④一項內含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項中能分成兩個或幾個可以方便求和的部分，如：an2n1等；

　　四、綜合性問題中

　　①等差數列中一些在加法和乘法中設一些數為ad和ad類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；②等比數列中一些在加法和乘法中設一些數為aq和aq類型，這樣可以相乘約掉。

　　第三章：不等式

　　1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．比較兩個數的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數法等等。

　　2、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；anbn,n1．

　　3、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．

　　4、二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：判別式b4ac201二次函數yaxbxc2a0的圖象有兩個相異實數根一元二次方程axbxc02有兩個相等實數根a0的根axbxc0一元二次不等式的解集2x1,2b2ax1x2b2a沒有實數根x1x2a0axbxc02xxx1或xx2bxx2aRa0xx1xx2

　　5、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．

　　6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

　　7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

　　8、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．

　　9、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區域；xyC0表示直線xyC0下方的區域．②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區域；xyC0表示直線xyC0上方的區域．

　　10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式．線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．最優解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．

　　11、設a、b是兩個正數，則ab稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．

　　12、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab2ab．

　　13、常用的基本不等式：①a2b22aba,bR；22②abab2a,bR；③abab2a2b2ab22a0,b0；④22a,bR．

　　14、極值定理：設x、y都為正數，則有s（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值s2⑴若xy．4⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p．

高一數學知識點總結14

　　二次函數

　　I.定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.)

　　則稱y為x的二次函數。

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

　　交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函數的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的.圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

高一數學知識點總結15

　　一、指數函數

　　(一)指數與指數冪的運算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_.

　　注意：當是奇數時，當是偶數時，

　　2.分數指數冪

　　正數的分數指數冪的意義，規定：

　　0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

　　指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.

　　3.實數指數冪的運算性質

　　(二)指數函數及其性質

　　1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.

　　注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

　　2、指數函數的圖象和性質

　　【第三章：第三章函數的應用】

　　1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

　　2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：

　　方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

　　3、函數零點的求法：

　　求函數的零點：

　　(1)(代數法)求方程的實數根;

　　(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點.

　　4、二次函數的零點：

　　二次函數.

　　1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.　　2)△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

　　3)△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點.

　　3.2.1幾類不同增長的函數模型

　　【課型】新授課

　　【教學目標】

　　結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同增長的函數模型意義, 理解它們的增長差異性.

　　【教學重點、難點】

　　1. 教學重點將實際問題轉化為函數模型，比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型的增長差異，結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義.

　　2.教學難點選擇合適的數學模型分析解決實際問題.

　　【學法與教學用具】

　　1. 學法：學生通過閱讀教材，動手畫圖，自主學習、思考，并相互討論，進行探索.

　　2.教學用具：多媒體.

　　【教學過程】

　　(一)引入實例，創設情景.

　　教師引導學生閱讀例1，分析其中的數量關系，思考應當選擇怎樣的函數模型來描述;由學生自己根據數量關系，歸納概括出相應的函數模型，寫出每個方案的函數解析式，教師在數量關系的分析、函數模型的選擇上作指導.

　　(二)互動交流，探求新知.

　　1. 觀察數據，體會模型.

　　教師引導學生觀察例1表格中三種方案的數量變化情況，體會三種函數的增長差異，說出自己的發現，并進行交流.

　　2. 作出圖象，描述特點.

　　教師引導學生借助計算器作出三個方案的函數圖象，分析三種方案的不同變化趨勢，并進行描述，為方案選擇提供依據.

　　(三)實例運用，鞏固提高.

　　1. 教師引導學生分析影響方案選擇的因素，使學生認識到要做出正確選擇除了考慮每天的收益，還要考慮一段時間內的總收益.學生通過自主活動，分析整理數據，并根據其中的信息做出推理判斷，獲得累計收益并給出本例的完整解答，然后全班進行交流.

　　2. 教師引導學生分析例2中三種函數的不同增長情況對于獎勵模型的影響，使學生明確問題的實質就是比較三個函數的增長情況，進一步體會三種基本函數模型在實際中廣泛應用，體會它們的增長差異.

　　3.教師引導學生分析得出：要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元，以及獎勵比例是否超過25%進行分析，才能做出正確選擇，學會對數據的特點與作用進行分析、判斷。

　　4.教師引導學生利用解析式，結合圖象，對例2的三個模型的增長情況進行分析比較，寫出完整的解答過程.進一步認識三個函數模型的增長差異，并掌握解答的規范要求.

　　5.教師引導學生通過以上具體函數進行比較分析，探究冪函數(>0)、指數函數(>1)、對數函數(>1)在區間(0，+∞)上的增長差異，并從函數的性質上進行研究、論證，同學之間進行交流總結，形成結論性報告.教師對學生的結論進行評析，借助信息技術手段進行驗證演示.

　　6. 課堂練習

　　教材P98練習1、2，并由學生演示，進行講評。

　　(四)歸納總結，提升認識.

　　教師通過計算機作圖進行總結，使學生認識直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數模型的含義及其差異，認識數學與現實生活、與其他學科的密切聯系，從而體會數學的實用價值和內在變化規律.

　　(五)布置作業

　　教材P107練習第2題

　　收集一些社會生活中普遍使用的遞增的一次函數、指數函數、對數函數的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數模型的廣泛應用，并思考。有時同一個實際問題可以建立多個函數模型，在具體應用函數模型時，應該怎樣選用合理的函數模型.

　　3.2.2 函數模型的應用實例(Ⅰ)

　　【課型】新授課

　　【教學目標】

　　能夠找出簡單實際問題中的`函數關系式，初步體會應用一次函數、二次函數模型解決實際問題.

　　【教學重點與難點】

　　1.教學重點：運用一次函數、二次函數模型解決一些實際問題.

　　2. 教學難點：將實際問題轉變為數學模型.

　　【學法與教學用具】

　　1. 學法：學生自主閱讀教材，采用嘗試、討論方式進行探究.

　　2. 教學用具：多媒體

　　【教學過程】

　　(一)創設情景，揭示課題

　　引例：大約在一千五百年前，大數學家孫子在《孫子算經》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何?”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔?你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎?你有什么更好的方法?老師介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”.這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數量與它們頭的數量之差，就是兔子數，即：47-35=12;雞數就是：35-12=23.

　　比例激發學生學習興趣，增強其求知欲望.

　　可引導學生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題.

　　(二)結合實例，探求新知

　　例1. 某列火車眾北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發10min開出13km后，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關系式，并求火車離開北京2h內行駛的路程.

　　探索：

　　1)本例所涉及的變量有哪些?它們的取值范圍怎樣;

　　2)所涉及的變量的關系如何?

　　3)寫出本例的解答過程.

　　老師提示：路程S和自變量t的取值范圍(即函數的定義域)，注意t的實際意義.

　　學生獨立思考，完成解答，并相互討論、交流、評析.

　　例2.某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價20元，茶杯每只定價5元，該商店制定了兩種優惠辦法：

　　1)本例所涉及的變量之間的關系可用何種函數模型來描述?