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（熱門）高一數學必修一知識點總結
總結在一個時期、一個年度、一個階段對學習和工作生活等情況加以回顧和分析的一種書面材料，它可以幫助我們有尋找學習和工作中的規律，讓我們來為自己寫一份總結吧。那么你知道總結如何寫嗎？以下是小編為大家整理的高一數學必修一知識點總結，希望能夠幫助到大家。
高一數學必修一知識點總結1
解三角形
(1)正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.
(2)應用
能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.
數列
(1)數列的概念和簡單表示法
①了解數列的`概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).
②了解數列是自變量為正整數的一類函數.
(2)等差數列、等比數列
①理解等差數列、等比數列的概念.
②掌握等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式.
③能在具體的問題情境中,識別數列的等差關系或等比關系,并能用有關知識解決相應的問題.
④了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系.
高一數學必修一知識點總結2
二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的`互相轉化中，有如下關系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
高一數學必修一知識點總結3
一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。
? 注意：常用數集及其記法：
非負整數集(即自然數集) 記作：N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R
1) 列舉法：{a,b,c……}
2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) Venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
二、集合間的基本關系
1.“包含”關系—子集
注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2.“相等”關系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同時 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 并 集 補 集
定 義 由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.
由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：A B(讀作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).
設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)
二、函數的有關概念
1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.
注意：
1.定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。
求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的'被開方數不小于零;
(3)對數式的真數必須大于零;
(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等于零，
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 .
(2) 畫法
A、 描點法：
B、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4.區間的概念
(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
(2)無窮區間
(3)區間的數軸表示.
5.映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f：A→B
6.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.
補充：復合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復合函數。
二.函數的性質
1.函數的單調性(局部性質)
(1)增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1
如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：函數的單調性是函數的局部性質;
(2) 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
○2 作差f(x1)-f(x2);
○3 變形(通常是因式分解和配方);
○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
○5 下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”
注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.
8.函數的奇偶性(整體性質)
(1)偶函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.
(2).奇函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.
(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征
偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.
利用定義判斷函數奇偶性的步驟：
○1首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱;
○2確定f(-x)與f(x)的關系;
○3作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數.
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.
(2)求函數的解析式的主要方法有：
1) 湊配法
2) 待定系數法
3) 換元法
4) 消參法
10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值
○2 利用圖象求函數的最大(小)值
○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
高一數學必修一知識點總結4
知識點總結
本節知識包括函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性和函數的圖象等知識點。函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性是學習函數的圖象的基礎，函數的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的'幾個知識點，函數的圖象就迎刃而解了。
一、函數的單調性
1、函數單調性的定義
2、函數單調性的判斷和證明：(1)定義法 (2)復合函數分析法 (3)導數證明法 (4)圖象法
二、函數的奇偶性和周期性
1、函數的奇偶性和周期性的定義
2、函數的奇偶性的判定和證明方法
3、函數的周期性的判定方法
三、函數的圖象
1、函數圖象的作法 (1)描點法 (2)圖象變換法
2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。
常見考法
本節是段考和高考必不可少的考查內容，是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯合考查，多屬于拔高題。多考查函數的單調性、最值和圖象等。
誤區提醒
1、求函數的單調區間，必須先求函數的定義域，即遵循“函數問題定義域優先的原則”。
2、單調區間必須用區間來表示，不能用集合或不等式，單調區間一般寫成開區間，不必考慮端點問題。
3、在多個單調區間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號隔開。
4、判斷函數的奇偶性，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數。
5、作函數的圖象，一般是首先化簡解析式，然后確定用描點法或圖象變換法作函數的圖象。
高一數學必修一知識點總結5
集合的運算
運算類型交 集并 集補 集
定義域 R定義域 R
值域＞0值域＞0
在R上單調遞增在R上單調遞減
非奇非偶函數非奇非偶函數
函數圖象都過定點（0，1）函數圖象都過定點（0，1）
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；
（3）對于指數函數 ，總有 ；
二、對數函數
（一）對數
1．對數的概念：
一般地，如果 ，那么數 叫做以 為底 的對數，記作： （ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明：○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書寫格式．
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 ．
指數式與對數式的互化
冪值 真數
＝ N ＝ b
底數
指數 對數
（二）對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那么：
○1 ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．
利用換底公式推導下面的結論：（1） ；（2） ．
（3）、重要的公式 ①、負數與零沒有對數； ②、 ， ③、對數恒等式
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．
注意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
○2 對數函數對底數的限制： ，且 ．
2、對數函數的.性質：
a>10 定義域x＞0定義域x＞0 值域為R值域為R 在R上遞增在R上遞減 函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0） （三）冪函數 1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數． 2、冪函數性質歸納． （1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）； （2） 時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間 上是增函數．特別地，當 時，冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸； （3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸． 第四章 函數的應用 一、方程的根與函數的零點 1、函數零點的概念：對于函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。 2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。 即：方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點． 3、函數零點的求法： ○1 （代數法）求方程 的實數根； ○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點． 4、二次函數的零點： 二次函數 ． （1）△＞０，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點． （2）△＝０，方程 有兩相等實根，二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點． （3）△＜０，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點． 5.函數的模型 1.二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表： 解析式 頂點坐標 對稱軸 y=ax^2 (0，0) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a 當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到， 當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到. 當h>0，k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象; 當h>0，k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象; 當h<0，k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象; 當h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的'圖象; 因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便. 2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a). 3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小. 4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點： (1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c); (2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?| 當△=0.圖象與x軸只有一個交點; 當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0. 5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a. 頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值. 6.用待定系數法求二次函數的解析式 (1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0). (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0). (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0). 7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現. ⑴公差為d的等差數列,各項同加一數所得數列仍是等差數列,其公差仍為d. ⑵公差為d的等差數列,各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列,其公差為kd. ⑶若{a}、{b}為等差數列,則{a±b}與{ka+b}(k、b為非零常數)也是等差數列. ⑷對任何m、n,在等差數列{a}中有：a=a+(n-m)d,特別地,當m=1時,便得等差數列的通項公式,此式較等差數列的`通項公式更具有一般性. ⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且l+k+p+…=m+n+r+…(兩邊的自然數個數相等),那么當{a}為等差數列時,有：a+a+a+…=a+a+a+…. ⑹公差為d的等差數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等差數列,其公差為kd(k為取出項數之差). ⑺如果{a}是等差數列,公差為d,那么,a,a,…,a、a也是等差數列,其公差為-d;在等差數列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、) ⑻在等差數列中,從第一項起,每一項(有窮數列末項除外)都是它前后兩項的等差中項. ⑼當公差d>0時,等差數列中的數隨項數的增大而增大;當d ⑽設a,a,a為等差數列中的三項,且a與a,a與a的項距差之比=(≠-1),則a=. ⑴數列{a}為等差數列的充要條件是：數列{a}的前n項和S可以寫成S=an+bn的形式(其中a、b為常數). ⑵在等差數列{a}中,當項數為2n(nN)時,S-S=nd,=;當項數為(2n-1)(n)時,S-S=a,=. ⑶若數列{a}為等差數列,則S,S-S,S-S,…仍然成等差數列,公差為. ⑷若兩個等差數列{a}、{b}的前n項和分別是S、T(n為奇數),則=. ⑸在等差數列{a}中,S=a,S=b(n>m),則S=(a-b). ⑹等差數列{a}中,是n的一次函數,且點(n,)均在直線y=x+(a-)上. ⑺記等差數列{a}的前n項和為S.①若a>0,公差d0,則當a≤0且a≥0時,S小. 第一章：解三角形 1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有asinbsina2RcsinC2R． 2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理的變形經常用在有三角函數的等式中）③a:b:csin:sin:sinC；④abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin．222abc． 3、三角形面積公式：SC 4、余定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，cab2abcosC．222 5、余弦定理的推論：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222． 6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若a2b2c2，則C90為直角三角形；②若a2b2c2，則C90為銳角三角形；③若a2b2c2，則C90為鈍角三角形． 第二章：數列 1、數列：按照一定順序排列著的一列數． 2、數列的項：數列中的每一個數． 3、有窮數列：項數有限的數列． 4、無窮數列：項數無限的數列． 5、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列． 6、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列． 7、常數列：各項相等的數列． 8、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列． 9、數列的通項公式：表示數列an的第n項與序號n之間的關系的公式． 10、數列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系的公式． 11、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差． 12、由三個數a，，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為a與b的等差中項．若bac2，則稱b為a與c的等差中項． 13、若等差數列an的首項是a1，公差是d，則ana1n1d．通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③d⑤danamnmana1n1；④nana1d1； 14、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等差數列，且2npq（n、p、q），則2anapaq；下角標成等差數列的項仍是等差數列；連續m項和構成的數列成等差數列。 15、等差數列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d． 16、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1．②若項數為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇S偶nn1（其中S奇nan，S偶n1an）． 17、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比． 18、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若G2ab，則稱G為a與b的等比中項． 19、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1q． 20、通項公式的變形：①anamq；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam． 21、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比數列，且2npq（n、p、q），則anapaq；下角標成等差數列的項仍是等比數列；連續m2項和構成的數列成等比數列。 22、等比數列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．1nq11q1qq1時，Sna11qa11qq，即常數項與q項系數互為相反數。 23、等比數列的前n項和的性質：①若項數為2nn，則SS偶奇q．n②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列． 24、an與Sn的關系：anSnSn1S1n2n1 一些方法： 一、求通項公式的方法： 1、由數列的前幾項求通項公式：待定系數法 ①若相鄰兩項相減后為同一個常數設為anknb，列兩個方程求解； ②若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數設為anan2bnc，列三個方程求解；③若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數設為anaq 2、由遞推公式求通項公式： ①若化簡后為an1and形式，可用等差數列的通項公式代入求解；②若化簡后為an1anf(n),形式，可用疊加法求解； ③若化簡后為an1anq形式，可用等比數列的通項公式代入求解； ④若化簡后為an1kanb形式，則可化為(an1x)k(anx)，從而新數列{anx}是等比數列，用等比數列求解{anx}的通項公式，再反過來求原來那個。（其中x是用待定系數法來求得）3、由求和公式求通項公式： ①a1S1②anSnSn1③檢驗a1是否滿足an，若滿足則為an，不滿足用分段函數寫。 4、其他 （1）anan1fn形式，fn便于求和，方法：迭加； 例如：anan1n1有：anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb，q為相除后的常數，列兩個方程求解； n4n1（2）anan12anan1形式，同除以anan1，構造倒數為等差數列； anan1anan121an1例如：anan12anan1，則1，即為以-2為公差的等差數列。anan1（3）anqan1m形式，q1，方法：構造：anxqan1x為等比數列； 例如：an2an12，通過待定系數法求得：an22an12，即an2等比，公比為2。（4）anqan1pnr形式：構造：anxnyqan1xn1y為等比數列；（5）anqan1p形式，同除p，轉化為上面的幾種情況進行構造；因為anqan1pn，則anpnqan1ppn11，若qp1轉化為（1）的方法，若不為1，轉化為（3）的方法 二、等差數列的求和最值問題：（二次函數的配方法；通項公式求臨界項法） ①若②若ak0，則Sn有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1a10a10ak0，則Sn有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1 三、數列求和的方法： ①疊加法：倒序相加，具備等差數列的相關特點的，倒序之后和為定值； ②錯位相減法：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式，如：an2n13；n③分式時拆項累加相約法：適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式。如：an1nn11n1n1，an12n12n1111等；22n12n1④一項內含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項中能分成兩個或幾個可以方便求和的部分，如：an2n1等； 四、綜合性問題中 ①等差數列中一些在加法和乘法中設一些數為ad和ad類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；②等比數列中一些在加法和乘法中設一些數為aq和aq類型，這樣可以相乘約掉。 第三章：不等式 1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．比較兩個數的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數法等等。 2、不等式的.性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；anbn,n1． 3、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式． 4、二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：判別式b4ac201二次函數yaxbxc2a0的圖象有兩個相異實數根一元二次方程axbxc02有兩個相等實數根a0的根axbxc0一元二次不等式的解集2x1,2b2ax1x2b2a沒有實數根x1x2a0axbxc02xxx1或xx2bxx2aRa0xx1xx2 5、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式． 6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組． 7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合． 8、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方． 9、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區域；xyC0表示直線xyC0下方的區域．②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區域；xyC0表示直線xyC0上方的區域． 10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式．線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．最優解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解． 11、設a、b是兩個正數，則ab稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數． 12、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab2ab． 13、常用的基本不等式：①a2b22aba,bR；22②abab2a,bR；③abab2a2b2ab22a0,b0；④22a,bR． 14、極值定理：設x、y都為正數，則有s（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值s2⑴若xy．4⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p． 不等式 不等關系 了解現實世界和日常生活中的不等關系,了解不等式(組)的實際背景. (2)一元二次不等式 ①會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的.二次函數、一元二次方程的聯系. ③會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設計求解的程序框圖. (3)二元一次不等式組與簡單線性規劃問題 ①會從實際情境中抽象出二元一次不等式組. ②了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區域表示二元一次不等式組. ③會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題,并能加以解決. (4)基本不等式： ①了解基本不等式的證明過程. ②會用基本不等式解決簡單的(小)值問題圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點 定義： x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0度。 范圍： 傾斜角的取值范圍是0°≤α 理解： (1)注意“兩個方向”：直線向上的方向、x軸的正方向; (2)規定當直線和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0度。 意義： ①直線的傾斜角，體現了直線對x軸正向的傾斜程度; ②在平面直角坐標系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角; ③傾斜角相同，未必表示同一條直線。 公式： k=tanα k>0時α∈(0°，90°) k k=0時α=0° 當α=90°時k不存在 ax+by+c=0(a≠0)傾斜角為A，則tanA=-a/b，A=arctan(-a/b) 當a≠0時，傾斜角為90度，即與X軸垂直 兩角和與差的三角函數： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函數： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 輔助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降冪公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 萬能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 積化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化積公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 二面角 (1)半平面：平面內的'一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。 (2)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°] (3)二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。 (4)二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。 (5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。 (6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 指數函數——信息技術應用 借助信息技術探究指數函數的性質 對數函數——閱讀與思考 對數的發明 探究與發現 互為反函數的兩個函數圖像之間的關系 冪函數 復習參考題 第三章 函數的應用 函數與方程——閱讀與思考 中外歷史上的方程求解 信息技術應用 借助信息技術求方程的近似解 函數模型及其應用——信息技術應用 收集數據并建立函數模型 實習作業 復習參考題 關于數學： 課本上講的定理，你可以自己 試著自己去推理。這樣不但提高自己的證明能力，也加深對公式的理解。還有就 是大量練習題目。基本上每課之后都要做課余練習的題目(不包括老師的作業)。 數學成績的提高，數學方法的掌握都和同學們良好的學習習慣分不開 的，因此。良好的數學學習習慣包括：聽講、閱讀、探究、作業。聽講：應抓住 聽課中的主要矛盾和問題，在聽講時盡可能與老師的講解同步思考，必要時做好 筆記。每堂課結束以后應深思一下進行歸納，做到一課一得。 閱讀：閱讀時應 仔細推敲，弄懂弄通每一個概念、定理和法則，對于例題應與同類參考書聯系起 來一同學習，博采眾長，增長知識，發展思維。 探究：要學會思考，在問題解 決之后再探求一些新的方法，學會從不同角度去思考問題，甚至改變條件或結論 去發現新問題，經過一段學習，應當將自己的思路整理一下，以形成自己的思維 規律。作業：要先復習后作業，先思考再動筆，做會一類題領會一大片，作業要 認真、書寫要規范，只有這樣腳踏實地，一步一個腳印，才能學好數學。 總之，在學習數學的過程中，要認識到數學的重要性，充分發揮自己 的主觀能動性，從小的細節注意起，養成良好的數學學習習慣，進而培養思考問 題、分析問題和解決問題的能力，最終把數學學好。 到了高中，數學跟初中數 學是有很多的不同，對知識的理解能力要求高了，對數學思維的要求也高了，憑 以前的方法是不行了。 高中數學學習方法一般來講還是以上課認真聽講為主， 抓住課本典型例題理解透了掌握透了才是王道，千萬別只顧著看參考書了，那是 本末倒置的方法;另外與老師交朋友經常與老師溝通，問問題、請教學習方法都 很重要。建立自己的錯題檔案是殺手锏的一招。 總之，是個積累的過程，你了 解的越多，學習就越好，所以多記憶，選擇自己的方法。 有關數學知識點拓展 數學(mathematics)，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念 的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。借用《數學簡史》的話，數學就是研究集合上各種結構(關系)的科學， 可見，數學是一門抽象的學科，而嚴謹的過程是數學抽象的關鍵。 數學在人類歷史發展和社會生活中發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。 數學起源于人類早期的生產活動，古巴比倫人從遠古時代開始已經積 累了一定的數學知識，并能應用實際問題。從數學本身看，他們的數學知識也只 是觀察和經驗所得，沒有綜合結論和證明，但也要充分肯定他們對數學所做出的 貢獻。 基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分。其基 本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。 從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅度的進展。但當時的代數學和幾何學長 久以來仍處于獨立的狀態。代數學可以說是最為人們廣泛接受的“數學”。 可以說每一個人從小時候開始學數數起，最先接觸到的數學就是代數 學。而數學作為一個研究“數”的學科，代數學也是數學最重要的`組成部分之一。 幾何學則是最早開始被人們研究的數學分支。直到16世紀的文藝復興時期，笛卡 爾創立了解析幾何，將當時完全分開的代數和幾何學聯系到了一起。從那以后， 我們終于可以用計算證明幾何學的定理;同時也可以用圖形來形象的表示抽象的 代數方程。而其后更發展出更加精微的微積分。 西方最原始math(數學)應用之一，奇普現時數學已包括多個分支。創 立于二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派則認為:數學，至少純數學，是研 究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。他們認為， 數學有三種基本的母結構:代數結構(群，環，域，格……)、序結構(偏序，全序 ……)、拓撲結構(鄰域，極限，連通性，維數……)。 數學被應用在很多不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。 數學在這些領域的應用一般被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，并促 成全新數學學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實 際應用為目標。雖然有許多工作以研究純數學為開端，但之后也許會發現合適的 應用。 具體的，有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:由邏輯、集合論(數學基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、以較近代 的對于不確定性的研究(混沌、模糊數學)。就縱度而言，在數學各自領域上的探 索亦越發深入。 如何學好數學 1、重視課本知識 對于高一學生來說，大部分數學知識的來源都是課本，只有很少的一部分知識是課外拓展。所以高一學生想要學好數學，就要先把課本知識理解透徹。平時做題的時候，也要以課本為重，把課本上的練習做會了，再做其他題。 2、課前預習 對很多高一學生來說，還沒有養成良好的學習習慣，完全沒有課前預習的習慣。但是如果想要學好高一數學，一定要進行適當的預習，如果時間不多，可以瀏覽一下老師要講的主要內容，有一個大概的印象。這樣在上課的時候，可以更好的跟上老師的思路。 最牛高考勵志書，淘寶搜索《高考蝶變》購買！ 3、記好筆記 對于高一學生來說，想要學好數學，記好課堂筆記也是一件很重要的事情。不要以為記筆記是文科生該做的事情，理科同樣需要。高一學生要清楚，在這45分鐘內，并不是所有的知識點都能掌握的，這個時候要把自己沒有理解的知識點記下來，然后課下再去鉆研。另外筆記也可以作為考試復習時的參考！ 4、及時復習 想要學好高一數學，及時復習是其中重要的一環。高一學生可以通過反復閱讀教材和查找相關資料，來加深自己對基本概念和知識體系的理解和記憶，把自己學到的新知識和舊知識聯系起來，進行比較和分析。 數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。小編準備了高一數學必修1期末考知識點，希望你喜歡。 一、集合有關概念 1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素. 2、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性 說明：(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素. (2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的.對象歸入一個集合時,僅算一個元素. (3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣. (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性. 3、集合的表示：{ } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法：列舉法與描述法. 注意啊：常用數集及其記法： 非負整數集(即自然數集)記作：N 正整數集 N*或N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R 關于屬于的概念 集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就說a屬于集合A 記作 aA ,相反,a不屬于集合A 記作 a?A 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上. 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法. ①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②數學式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32} 4、集合的分類： 1.有限集 含有有限個元素的集合 2.無限集 含有無限個元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝ 二、集合間的基本關系 1.包含關系子集 注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A 2.相等關系(55,且55,則5=5) 實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同 結論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即：A=B ① 任何一個集合是它本身的子集.AA ②真子集:如果AB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同時 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為 規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 三、集合的運算 1.交集的定義：一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集. 記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}. 2、并集的定義：一般地,由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作：AB(讀作A并B),即AB={x|xA,或xB}. 3、交集與并集的性質：AA = A, A=, AB = BA,AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集與補集 (1)補集：設S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集) (2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用U來表示. (3)性質：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ⑶(CUA)A=U 棱錐 棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐 棱錐的的性質： (1)側棱交于一點。側面都是三角形 (2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方 正棱錐 正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 正棱錐的性質： (1)各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的'等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。 (3)多個特殊的直角三角形 esp： a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有asinbsincsinC2R． 2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；csinCabcsinsinsinCsin．（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數形結合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡以AD有無交點：當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當a但不能到達，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內)，求兩目標A、B之間的距離。本題解答過程略附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點. 7、數列：按照一定順序排列著的一列數． 8、數列的項：數列中的每一個數． 9、有窮數列：項數有限的數列． 10、無窮數列：項數無限的數列． 11、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：an+1>an）． 12、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm． 21、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等差數列，且2npq（n、p、q），則2anapaq． 22、等差數列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③sna1a2an 23、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1．S奇S偶nn1②若項數為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）（其中S奇nan， 24、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的.比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．符號表示：an1anq（注：①等比數列中不會出現值為0的項；②同號位上的值同號）注：看數列是不是等比數列有以下四種方法： 2①anan1q(n2,q為常數,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)③ancqn(c,q為非零常數).④正數列{an}成等比的充要條件是數列{logxan}（x1）成等比數列. 25、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，22則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）2n1 26、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1q． 27、通項公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam． 28、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比數列，且2npq（n、p、q），則anapaq．na1q1 29、等比數列an的前n項和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an 30、對任意的數列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：ans1a1(n1)snsn1(n2) [注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若d不為0，則是等差數列充分條件）.②等差{an}前n項和Sndddd22AnBnna1n→222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則是等差數列的充分條件. ③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）．．附：幾種常見的數列的思想方法：⑴等差數列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法： d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：數列等差數列等比數列數列等差數列前n項和公式通項公式(a1d2)n利用二次函數的性質求n的值. 對應函數（時為一次函數）（指數型函數）對應函數（時為二次函數）等比數列（指數型函數）我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。 例題：1、等差數列分析：因為中，，則.是等差數列，所以是關于n的一次函數，一次函數圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。 例題：2、等差數列中，，前n項和為，若，n為何值時最大？ 分析：等差數列前n項和可以看成關于n的二次函數=，是拋物線=上的離散點，根據題意，，則因為欲求最大。最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為，即當時， 例題：3遞增數列，對任意正整數n，遞增得到：恒成立，設恒成立，求恒成立，即，則只需求出。，因為是遞的最大值即 分析：構造一次函數，由數列恒成立，所以可，顯然有最大值對一切對于一切，所以看成函數的取值范圍是：構造二次函數，，它的定義域是增數列，即函數為遞增函數，單調增區間為,拋物線對稱軸，因為函數f(x)為離散函數，要函數單調遞增，就看動軸與已知區間的位置。從對應圖像上看，對稱軸的左側在也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，，得⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前n項和可依照等比數列前n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差d1，d2的最小公倍數. 2.判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證anan1(anan1)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證 2an1anan2(an1anan2)nN都成立。2am03.在等差數列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,d把①式兩邊同乘2后得2sn=122232n2234n1② 用①-②，即：123nsn=122232n2①2sn=122232n2234n1②得sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n122n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12 4.倒序相加法:類似于等差數列前n項和公式的推導方法.5.常用結論1）:1+2+3+...+n=n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5） 1n(n1)1n1n11n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq) 31、ab0ab；ab0ab；ab0ab． 32、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；nd0acabdb0a⑥；⑦⑧ab0nnbn,n1；anbn,n1． 33、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式． 34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法 穿根法（零點分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00) 解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區間；若不等式是“ 由圖可看出不等式x23x26x80的解集為： x|2x1,或x4 (x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。 例題：求解不等式 解：略 一元二次不等式的求解： 特例①一元一次不等式ax>b解的討論； ②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論. 二次函數yax22 000bxc有兩相異實根x1,x2(x1x2)（a0）的圖象一元二次方程ax2有兩相等實根x1x2b2abxc0a0的根2無實根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對于a0(或 f(x)g(x)（2）轉化為整式不等式（組） 1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x) f(x)例題：求解不等式：解：略例題：求不等式 xx11 1的解集。 3.含絕對值不等式的解法：基本形式： ①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型： 其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當x2時，（去絕對值符號）原不等式化為：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函數圖像法： 令f(x)|x2||x3| 2x1(x3)則有：f(x)5(3x2) 2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標系中作出此分段函數及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數圖像來分析：y設ax2+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若兩根都大于0，即0,0，則有0 0o對稱軸x=b2ax 0b0②若兩根都小于0，即0,0，則有2af(0)0y 11 對稱軸x=b2aox ③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0 ④若兩根在兩實數m,n之間，即mn， 0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個根在三個實數之間，即mtn， yf(m)0則有f(t)0 f(n)0 常由根的分布情況來求解出現在a、b、c位置上的參數 例如：若方程x2(m1)xm2m30有兩個正實數根，求m的取值范圍。 4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個正實數根時，m3。 又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。 55220m(1)4(m1)02解：因為有兩個不同的根，所以由21m122f(1)011m101m122 35、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式． 36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組． 37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合． 38、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方． 39、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區域；xyC0表示直線xyC0下方的區域． ②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區域；xyC0表示直線 xyC0上方的區域． （二）由A的符號來確定：先把x的系數A化為正后，看不等號方向：①若是“>”號，則xyC0所表示的區域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．最優解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解． 41、設a、b是兩個正數，則ab2稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．ab2ab． 42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即 43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③abab2a0,b0；2④ab222ab2a,bR． 44、極值定理：設x、y都為正數，則有： ⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值s42．⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2例題：已知x解：∵x5454p．14x5，求函數f(x)4x2的最大值。 ，∴4x50由原式可以化為：f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132當54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）時取到“=”號也就是說當x1時有f(x)max2 【公式一】 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等： sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式二】 設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意角α與-α的三角函數值之間的關系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 【公式六】 π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 【高一數學函數復習資料】 一、定義與定義式： 自變量x和因變量y有如下關系： y=kx+b 則此時稱y是x的一次函數。 特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。 即：y=kx(k為常數，k≠0) 二、一次函數的性質： 的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k 即：y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數) 當x=0時，b為函數在y軸上的`截距。 三、一次函數的圖像及性質： 作法與圖形：通過如下3個步驟 (1)列表; (2)描點; (3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點) 性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。 ，b與函數圖像所在象限： 當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大; 當k 當b>0時，直線必通過一、二象限; 當b=0時，直線通過原點 當b 特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。 這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k 四、確定一次函數的表達式： 已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。 (1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。 (2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函數的表達式。 五、一次函數在生活中的應用： 當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。 當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。 六、常用公式：(不全，希望有人補充) 求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2) 求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2 求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2 求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)高一數學必修一知識點總結6
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